Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

2.6. DAVINCI DECODED? KANINCHEN, GOLDEN GESCHNITTEN 71
§ 290 Neben dem exponentiellen Wachstum ist aus mathematischer Sicht die Linearität einer
derartig definierten Folge interessant. Betrachten wir noch einmal die Definition der Fibonacci
Folge. Diese besteht aus zwei Teilen, der Rekursionsformel und den Anfangsbedingungen für
F 1 und F 2 . Die Fibinacci Zahlen sind daher ein Spezialfall einer allgemeinen Folge
S n+1 = S n + S n−1 , n ≥ 2 ,
für die die Anfangswerte S 1 und S 2 noch nicht näher spezifiziert sind. Je nach Wahl von S 1
und S 2 lassen sich verschiedenen Folgen konstruieren, bezeichnet z.B. als S n (1) und S n
(2) . Eine
Linearkombination dieser beiden Folgen ist
S n = α 1 S (1)
n + α 2 S (2)
n .
Einsetzen in die Rekursionsformel liefert
S n+1 = α 1 S (1)
n+1 + α 2S (2)
n+1 = α 1(S n (1) + S (1)
n−1 ) + α 2(S n (1) + S (2)
n−1 )
= (α 1 S n (1) + α 2 S n (2) ) + (α 1 S (1)
n−1 + α 2S (2)
n−1 ) = S n + S n−1 ,
d.h. die Linearkombination zweier Fibonacci Folgen liefert wieder eine Fibonacci Folge.
§ 291 Für große n lässt sich der Quotient zweier aufeinander folgender Fibonacci Zahlen als
unendlicher Bruch schreiben mit F n+1 /F n ≈ x. Daher verhält sich F n annähernd wie cx n
mit c als einer Konstanten und x definiert über diesen Quotienten. Setzen wir den Ansatz
cx n in die Rekursionsformel ein, so ergibt sich
cx n+1 = cx n + cx n−1 → x 1 = x + 1
mit den Lösungen
α = 1 2
(
1 + √ )
5
und β = 1 2
(
1 − √ )
5 . (2.13)
Beide Lösungen erfüllen die Rekursionsformel (allerdings wird das Verhältnis F n+1 /F n ≈ x
nur durch die positive Lösung α erfüllt), d.h. auch Linearkombinationen der beiden Lösungen
erfüllen die Rekursionsformel. Damit erhalten wir als allgemeine Lösung der Rekursionsformel
S n = c 1 α n + c 2 β n .
§ 292 Diese allgemeine Lösung muss auch für den Spezialfall der Fibonacci Zahlen gültig
sein. Dann lässt sich die Fibonacci Folge schreiben als
F n = c 1 α n + c 2 β n
und die Koeffizienten c 1 und c 2 sind so zu wählen, dass gilt
F 1 = c 1 α + c 2 β = 1 und F 2 = c 1 α 2 + c 2 β 2 = 1 .
Wegen c 1 = −c 2 = (α + β) −1 ergibt sich für die n te Fibonacci Zahl
F n = αn − β n
α − β .
Damit lässt sich F n direkt bestimmen ohne die Rekursionsformel durchlaufen zu müssen.
Zwischenrechnung 10 Fibonacci Zahlen sind natürliche Zahlen, der Ausdruck besteht jedoch
aus irrationalen Zahlen α und β. Macht das Sinn?
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007