Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

10.3. INTEGRATION: LINIEN- UND OBERFLÄCHENINTEGRAL 391
Skalar reduziert. Jetzt kann das Integral (10.14) als gewöhnliches Doppelintegral berechnet
werden.
§ 1472 Für einige Geometrien ist die Bestimmung des Flusses besonders einfach. Es gelten
die folgenden Regeln:
• der Fluss eines homogenen Vektorfeldes F ⃗ = const durch eine geschlossene Oberfläche
verschwindet:
∮
⃗c · dS ⃗ = 0 .
S
Das können wir uns an Hand von Abb. 10.3 veranschaulichen: egal, welche Form die geschlossene
Oberfläche hat, wir können sie immer in einen Teil auf der der Strömung zugewandten
und einen anderen Teil auf der der Strömung abgewandten Seite zerlegen. In
einem homogenen Feld können wir jede beliebig geformte Fläche auf ihre Projektion senkrecht
zur Strömung reduzieren. Diese Projektionen sind für die beiden Teilflächen identisch,
jedoch mit Normalenvektoren, die in unterschiedlicher Richtung weisen. Damit heben sich
die Flüsse durch die beiden Teilflächen auf. Oder in anderen Worten: was hineinfließt, fließt
auch wieder hinaus.
• Der Fluss eines zylindersymmetrischen Vektorfeldes F ⃗ = f(ϱ) ⃗e ϱ durch die geschlossene
Oberfläche eines Zylinders mit Radius R und Höhe H um die z-Achse ist das Produkt aus
der Feldstärke an der Oberfläche und der Zylinderoberfläche:
∮
⃗F · dS ⃗ = f(R) 2πRH . (10.15)
S
• Entsprechend ist der Fluss eines kugel- oder radialsymmetrischen Vektorfeldes F ⃗ = f(r) ⃗e r
durch die Oberfläche einer geschlossenen konzentrischen Kugel mit Radius R gleich dem
Produkt aus der Kugeloberfläche und der Feldstärke an der Oberfläche
∮
⃗F · dS ⃗ = f(R) 4πR 2 . (10.16)
S
Zwischenrechnung 60 Verifizieren Sie die letzten beiden Ausdrücke.
§ 1473 Zur Veranschaulichung der letzten Regel beginnen wir mit einem einfachen physikalischen
Beispiel. Der elektrische Fluss Φ durch eine Fläche S ist definiert als
∫
Φ = ⃗E · dS ⃗ . (10.17)
Eine Punktladung q erzeugt ein elektrisches Feld E ⃗ = q/(4πε 0 r 2 ) ⃗e r . Der Fluss dieser Ladung
durch eine Kugeloberfläche r = 2 lässt sich nach obigem Kochrezept wie folgt bestimmen: auf
der Kugeloberfläche weist der Normalenvektor in Verlängerung des Ortsvektors stets radial
nach außen, d.h. er hat die Richtung (x, y, z) oder in Kugelkoordinaten ⃗e r . Für das Produkt
⃗F · ⃗n erhalten wir damit
q
⃗F · ⃗n =
4πε 0 r 2 ⃗e q
r · ⃗e r =
4πε 0 r 2 .
Mit dem Flächenelement dS = r 2 sin ϑ dϑ dϕ 2 ergibt sich
∫
Φ =
⃗F · ⃗n dA =
∫2π
∫ π
ϕ=0 ϑ=0
q
4πε 0 r 2 r2 sin ϑ dϕ dϑ = q ε 0
.
Der Rechenweg ist für beliebigen radialen Abstand anwendbar, an keiner Stelle geht die
Angabe r = 2 aus der Aufgabenstellung ein. Dies bedeutet, dass im Falle einer Punktladung
2 Die Seitenlänge des Flächenelements entlang eines Längenkreises ist gegeben als r dϑ, die Seitenlänge
entlang eines Breitenkreises dagegen durch r sin ϑ dϕ, da der Breitenkreis nur einen Radius von r sin ϑ hat.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007