Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

546 ANHANG D. LÖSUNGEN ZU FRAGEN UND AUFGABEN
sich zwar keine eindeutige Lösung, aber da die Gleichung für die Mittelsenkrechte ⃗g = ⃗a/2+λ⃗s
ohnehin den Faktor λ enthält, ist es egal, welche Länge ⃗s hat so lange er ⃗a · ⃗s = 0 erfüllt.
Frage 9: Schwerpunkt gleich Schnittpunkt der Diagonalen; damit auf Frage 6 reduziert
Frage 10: Raumdiagonale gegeben als ⃗ d = ⃗a + ⃗ b + ⃗c, Einheitsvektor ⃗e ⃗d = ⃗ d/(| ⃗ d|) mit | ⃗ d| =
√
⃗d · ⃗ d =
√
(a1 + b 1 + c 1 ) 2 + (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 + (a 3 + b 3 + c 3 ) 2 .
Frage 11: Normierung und Orthogonalität
Aufgabe 1: alle Ausdrücke lassen sich durch komponentenweises zusammen fassen rechnen;
⎛
⃗d = ⎝ −1
⎞ ⎛
2 ⎠ , ⃗e = ⎝ −14
⎞
⎛
32 ⎠ und f ⃗ = ⎝ −11
⎞
38 ⎠ .
4
44
−4
Aufgabe 2: |⃗a| = √ 50, | ⃗ b| = √ 25, |⃗c| = √ 91, |⃗a − ⃗c| = √ 61, ⃗e ⃗a−⃗c = (6, −5, 0)/ √ 61.
Aufgabe 3: zwei der Vektoren sind nicht linear unabhängig: ⃗c = −2⃗a. Daher verschwindet
das Kreuzprodukt dieser Vektoren (dadurch verschwindet der zweite Summand bei ⃗g.
⎛
e = −1680 f ⃗ = ⎝ −1
⎞ ⎛
2 ⎠ , ⃗g = ⎝ −40
⎞
⎛
−80 ⎠ und ⃗ h = ⎝ −2
⎞
4 ⎠ .
−1
−120
−2
Aufgabe 4: (1) Winkel entweder nach Schema aus Skalarprodukt oder aus ökonomischen
Gründen über Kreuzprodukt (wird für das Parallelogramm ohnehin benötigt): α = 0.616,
entsprechend 35.2 ◦ . (2) Fläche über Kreuzprodukt, |⃗a × ⃗ b| = |(3, 0, 3)| = √ 18. (3) eine
Diagonale über die Summe ⃗a+ ⃗ b = (3, 0, −3), die andere über die Differenz ⃗a− ⃗ b = (−1, −2, 1).
(4) Normaleneinheitsvektor aus Aufgabenteil (2) direkt abzulesen, da wir dort sowohl einen
senkrecht auf der Fläche stehenden Vektor bestimmt haben als auch dessen Betrag: ⃗e n(⃗a× ⃗ b)
=
1 √
18
(3, 0, −3). (5) Der Betrag der Projektion ist aus der Definition des Skalarprodukts |⃗a ⃗b | =
|⃗a| cos α = (⃗a · ⃗b)/| ⃗ b| = 3/3 = 1; den Vektor erhalten wir durch Multiplikation mit dem
Einheitsvektor in Richtung ⃗ b, ⃗e ⃗b = ⃗ b/| ⃗ b| = (2, 1, −2)/3 und damit
⎛
⃗a ·⃗b ⃗ b
⃗a ⃗b =
| ⃗ b| | ⃗ b| = 1 1 ⎝ 2 ⎞
1 ⎠ .
3
−2
Aufgabe 5: die drei Seiten sind jeweils aus den Differenzen der Ortsvektoren zu bilden:
⃗C = ⃗a − ⃗ b = (−2, 3−, −4) mit dem Betrag (und damit der Seitenlänge) | ⃗ C| = √ 29; ⃗ B =
⃗a − ⃗c = (0, 3, −6) mit | ⃗ B| = √ 45; ⃗ A = ⃗ b − ⃗c = (2, 0, −2) mit | ⃗ A| = √ 8. Für die Innenwinkel
muss jeweils der zwischen zwei Seiten eingeschlossene Winkel gebildet werden, dabei kann
wahlweise Kreuz- oder Skalarprodukt verwendet werden: α = arccos(( ⃗ B · ⃗C)/(| ⃗ B| | ⃗ C|)) =
arccos(33/ √ 45 · 29) = 0.42; β = arccos(( ⃗ A · ⃗C)/(| ⃗ A| | ⃗ C|)) = arccos(4/ √ 8 · 29) = 1.31; γ =
arccos(( ⃗ B · ⃗A)/(| ⃗ B| | ⃗ A|)) = arccos(33/ √ 45 · 8) = 0.42. Der Flächeninhalt des Dreiecks lässt
sich mit Hilfe des Kreuzprodukts aus zwei beliebigen der eine Seite beschreibenden Vektoren
bestimmen, da die Fläche des Dreiecks halb so groß ist, wie die des Parallelogramms: F ∆ =
| ⃗ A × ⃗ B|/2 = √ 54.
Aufgabe 6: stehen zwei Vektoren senkrecht auf einander, so ist ihr Skalarprodukt Null, da
cos α = 0. Daher paarweise Skalarprodukte: ⃗a·⃗b = 2, ⃗a·⃗c = 48, ⃗a· ⃗d = 0, ⃗ b·⃗c = 8, ⃗ b· ⃗d = −238,
⃗c · ⃗d = 0. Daraus folgt, dass ⃗a ⊥ ⃗ d und ⃗c ⊥ ⃗ d. Dann liegen ⃗a und ⃗c in einer Ebene, auf der
⃗d senkrecht steht. Also muss ⃗ d ein Vielfaches von ⃗a × ⃗c sein. (Na gut, der Faktor ist 1, da
die Bestimmung des Kreuzproduktes der einfachste Weg war, mit dem ich den senkrecht
stehenden Vektor ⃗ d bestimmen konnte)
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode