Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

2.1. MOTIVATION 51
Abbildung 2.2: Geometrische
Konstruktion zur Newton–
Raphson Methode
und kleiner als unser Verdachtswert. Wechselt das Vorzeichen der Funktionswerte, so machen
wir das Intervall kleiner, überprüfen den Vorzeichenwechsel und so weiter, bis wir die
Nullstelle mit gewünschter Genauigkeit eingeschachtelt haben. Das Verfahren ist anschaulich
aber aufwendig, da für jeden Schritt der Funktionswert an zwei Stellen (den beiden Intervallgrenzen)
bestimmt werden muss. Außerdem scheitert das Verfahren bereits bei einer so
einfachen Funktion wie x 2 : diese hat zwar bei x = 0 eine Nullstelle, es findet jedoch kein
Vorzeichenwechsel statt.
§ 206 Allgemeiner ist die Newton–Raphson Methode. Sie basiert auf einer Iteration der Form
a n+1 = a n − f(a n)
f ′ (a n )
(2.1)
mit f ′ als der Ableitung von f. Der letzte Term ist das Verhältnis aus Funktionswert und
Ableitung an der Stelle a n , d.h. er gibt an, wie weit der Schnittpunkt zwischen der Geraden
durch (a n , f(a n )) mit Steigung f(a n ) und der Abszisse von a n entfernt ist, vgl. Abb. 2.2. Auf
diese Weise entsteht eine Folge von Werten a 1 , a 2 , a 3 , . . ., die sich immer weiter der gesuchten
Nullstelle annähert. 2
§ 207 Für einige Funktionen lässt sich die Folge der a i explizit angeben. So ergibt sich für
das Polynom (x − 1) 2 = 0 mit der Ableitung 2(x − 1) aus dem Bildungsgesetz der Newton–
Raphson Methode eine Folge, deren Glieder nach der Rekursionsformel
a n+1 = a n − (a n − 1) 2
2(a n − 1) = a n + 1
2
bestimmt werden. Mit einem geratenen Anfangswert a 1 = 1 2
ergibt sich die Folge
1
2 , 3
4 , 7
8 , 15
16 , . . . 2 n − 1
2 n , . . . .
Diese Sequenz entwickelt sich in Richtung auf den erwarteten Wert x = 1. Daher kann man
sagen, dass diese Folge für n → ∞ gegen 1 konvergiert. Auch für alle anderen Anfangswerte
a 1 konvergiert diese Folge gegen 1, es kann nur etwas länger dauern.
Zwischenrechnung 4 Den Anfangswert für die Newton–Raphson Methode haben wir willkürlich
auf 1/2 gesetzt. Wie ändert sich das Ergebnis, wenn wir stattdessen z.B. a 1 = −1/2
oder a 1 = 10 verwenden. Erklären Sie das Ergebnis!
§ 208 Diese Eigenschaft, Konvergenz gegen einen Grenzwert unabhängig vom Startwert, ist
eine Eigenschaft dieser speziellen Folge. Die sehr grundlegende Folge
z k+1 = z 2 k + c mit z 0 = 0 und z, c ∈ C (2.2)
hat ein ähnliches Bildungsgesetz, allerdings sind die Glieder der Folge nicht auf reelle Zahlen
beschränkt sondern dürfen komplex sein. Ob diese Folge konvergiert oder nicht, hängt vom
2 Das gilt in unserem Beispiel, da die Funktion glatt, d.h. stetig und differenzierbar ist.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007