Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

4.2. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN EINER VARIABLEN 129
ist der Faktor n. Alle anderen Koeffizienten vor den Produkten können wir willkürlich a i
nennen. Damit ergibt sich
(
d
[x n + nx n−1 h + a 2 x n−2 h 2 + . . . + nxh n−1 + h n ] − x n )
dx xn = lim
h→0 h
Der Term x n hebt sich weg, alle anderen Terme enthalten mindestens einen Faktor h, so dass
dieser gekürzt werden kann. Dann erhalten wir
d
dx xn = nx n−1 (
+ lim a2 x n−2 h + . . . + nxh n−2 + h n−1)
h→0
bzw. im Grenzübergang wie gewünscht
d
dx xn = nx n−1 .
Das ist die bekannte Ableitungsregel für Potenzen.
§ 503 Weitere Ableitungsregeln benötigen wir für typischerweise in der Physik verwendete
Funktionen nicht. So lange wir eine Funktion als eine Potenzreihe darstellen können, vgl.
Abschn. 2.4, lässt sie sich mit Hilfe der Ableitungsregel für Potenzen auch differenzieren. Das
Ergebnis eines solchen Verfahrens ist zwar etwas unförmig, da es wieder eine Potenzreihe ist,
es ist aber trotzdem korrekt. Und manchmal lässt sich die abgeleitete Potenzreihe auch in
eine Funktion zurück verwandeln.
§ 504 Betrachten wir die Reihendarstellung der Exponentialfunktion (2.8)
e x = 1 + 1 1! x + 1 2! x2 + 1 3! x3 + .... + 1 n! xn + ... .
Die Ableitung liefert
d
dx ex = 1 + 1 1! x + 1 2! x2 + 1 3! x3 + .... + 1 n! xn + ... = e x ,
also wieder, wie zu erwarten, die Exponentialfunktion.
§ 505 Für die Winkelfunktionen ist das Verfahren ähnlich. Gleichung (2.9) gibt die Reihenentwicklung
für den Sinus
sin x = x − x3
3! + x5
5! − x7
7! + .... .
Die Ableitung davon ist
d
x2
sin x = 1 −
dx 2! + x4
4! − x6
6! + . . . = cos x ,
wie man durch Vergleich mit (2.10) erkennt. Nochmaliges Ableiten liefert
d
dx cos x = d ( ) d
dx dx sin x = −x + x3
3! − x5
5! + . . . = − sin x .
Letztere Gleichung weist auch darauf hin, dass das zweimalige Ableiten der Funktion Sinus
wieder den Sinus ergibt, allerdings mit umgekehrtem Vorzeichen. Entsprechendes gilt auch
für den Kosinus:
d 2
dx 2 sin x = − sin x und d 2
cos x = − cos x .
dx2 4.2.4 Wichtige Sätze
§ 506 Die beiden folgenden Sätze geben Hinweise über den allgemeinen Verlauf einer stetigen
Funktion. Anschaulich sind die Aussagen trivial; beide Sätze sind deshalb interessant, weil sie
sich auch in physikalischen Begriffen begründen lassen. Außerdem können wir uns an dieser
Stelle mal einen Beweis gönnen – einer reicht, da der Mittelwertsatz 13 den Satz von Rolle
12 als Spezialfall enthält.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007