Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

8.4. ANWENDUNGEN 339
8.4.3 Trägheitstensor und Hauptachsentransformation
§ 1275 Das Trägheitsmoment hat zwar etwas mit der Drehung eines Körpers (oder genauer
seinem Widerstand gegenüber einer Änderung seiner Drehbewegung) zu tun, allerdings ist
der Trägheitstensor eine Matrix die nicht die Eigenschaften der Drehung beschreibt sondern
eine Art Materialparameter des Körpers ist.
Trägheitstensor
§ 1276 In § 692 haben wir das Trägheitsmoment eines Körpers um eine Drehachse kennen
gelernt. Betrachten wir nochmals den Quader. Die Trägheitsmomente um die Seitenkanten
(oder dazu parallele Achsen) lassen sich einfach bestimmen, wir haben sie in § 692f bestimmt.
Der Quader kann jedoch um jede beliebige Achse gedreht werden, z.B. um seine Raumdiagonale.
§ 1277 Während das Trägheitsmoment immer auf eine bestimmte Drehachse bezogen ist,
lässt sich mit einem Trägheitstensor I eine von der Drehachse unabhängige Beschreibung des
Zusammenhangs zwischen Drehimpuls L ⃗ und Winkelgeschwindigkeit ⃗ω erreichen:
∫
⃗L = I ⃗ω mit I = (r 2 E − ⃗r⃗r) dm .
In Matrixschreibweise ist der Trägheitstensor
⎛
⎞ ⎛
∫
I = ⎝ y2 + z 2 −xy −xz
−yx x 2 + z 2 −yz ⎠ dm = ⎝ I ⎞
xx I xy I xz
I yx I yy I yz
⎠
−zx −zy x 2 + y 2 I zx I zy I zz
V
Die Diagonalelemente I xx , I yy und I zz sind die axialen Trägheitsmomente, sie enthalten den
Abstand von den einzelnen Koordinatenachsen. Die anderen Elemente werden als Zentrifugaloder
Deviationsmomente bezeichnet. Der Trägheitstensor ist symmetrisch.
§ 1278 Das Trägheitsmoment I a bezüglich einer Geraden a mit dem Richtungsvektor ⃗a = a T
ist
I a = a T Ia (8.27)
mit a als einem Spalten- und a T als einem Zeilenvektor.
§ 1279 Die Gestalt dieses Tensors hängt vom gewählten Koordinatensystem ab. Es ist jedoch
stets möglich, ein Koordinatensystem zu finden, in dem der Tensor Diagonalgestalt hat
⎛
I = ⎝ I ⎞
1 0 0
0 I 2 0 ⎠ ,
0 0 I 3
wobei die I i die Trägheitsmomente bezüglich der Hauptachsen des Körpers angeben. Diese
Trägheitsmomente sind die Eigenwerte des Tensors I. Die Spaltenvektoren der dazu
benötigten Transformationsmatrix T sind die zu diesen Eigenwerten gehörigen Eigenvektoren.
Sie geben die Hauptachsenrichtungen des Körpers an, die Transformation des allgemeinen
Tensors I auf die Diagonalform heißt Hauptachsentransformation.
§ 1280 Bevor wir uns jedoch der Hauptachsentransformation zu wenden, können wir den
Trägheitstensor am Beispiel eines Würfels betrachten. Hier bietet es sich an, die Würfelkanten
parallel zu den Koordinatenachsen auszurichten. Dann können die axialen Trägheitsmomente
direkt aus § 693 übernommen werden:
I xx = ϱ
∫ a ∫ a ∫ a
0
0
0
(y 2 + z 2 ) dx dy dz = 2 3 ma2 .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007