Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

408 KAPITEL 11. PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Abbildung 11.2: Zur Herleitung der PDGL
für die schwingende Saite wird diese durch
gerade Saitenelemente angenähert
Objekt. Da die Saite schwingen soll, muss es ferner eine rücktreibende Kraft geben, die
bei einer Auslenkung stets wieder in Richtung auf den Ruhezustand wirkt. Diese Kraft wird
durch die Saitenspannung T bewirkt, d.h. die Anziehung benachbarter Längenelemente der
Saite. Mathematisch ist die Saite daher eine Linie der Länge l mit einer gleichförmigen
Massenbelegung ϱ (Masse pro Länge) und einer gleichförmigen Spannung T 0 antlang der
Saite im Gleichgewichtszustand. Auslenkung aus der Ruhelage, wie in Abb. 11.1 angedeutet,
vergrößert deren Länge und damit die Spannung: T > T 0 : dieses ∆T wirkt als rücktreibende
Kraft.
§ 1511 Zur Herleitung der Bewegungsgleichung betrachten wir die Saite zuerst in einer diskreten
Näherung und bestimmen daraus im Grenzübergang die exakte Gleichung. In der
Ruhelage soll die Saite nicht ausgelenkt sein, d.h. A(x, t 0 ) = 0. Zu einer späteren Zeit ist
die Saite ausgelenkt entsprechend einer Funktion A(x, t). Zur Diskretisierung betrachten wir
Punkte auf der Saite, die sich im Ruhezustand in einem Abstand δx befinden. Die Auslenkung
der Saite nähern wir stückweise linear an, vgl. Abb. 11.2. Die zwischen benachbarten
Saitenelementen wirkende Spannung ist entlang dieser geraden Stückchen jeweils konstant.
§ 1512 Im Punkt X an der Position A(x, t) wirken die Spannungen T 1 in Richtung auf
den Punkt A(x − 1 2 δx, t) und T 2 in Richtung auf den Punkt A(x + 1 2δx, t). Die Spannung
ergibt sich aus dem Verhältnis zwischen der realen Länge L dieses Linienelements und dem
Abstand δx/2 der beiden Punkte im Ruhezustand. Die Spannung ist also T = 2T 0 L/δx mit
der vertikalen Komponente T sin ϑ = 2T 0 L/δx sin ϑ mit ϑ als dem Winkel zwischen der Saite
und der Horizontalen. Also gilt
( )
A(x + δx/2, t) − A(x, t) ∂A
T vert (x, t) = T 0 ≈ T 0
δx/2
∂x .
Die vertikale Kraft auf den Punkt X ist gegeben durch die Differenz der vertikalen Kräfte
von links und rechts:
(
∂A
T vert (x, t) ≈ T 0
∣
∂x
∣x+δx/2 − ∂A
)
∂x ∣ .
x−δx/2
§ 1513 An dieser Stelle scheint ein Grenzübergang δx → 0 verlockend. Dieser ist aber nicht
hilfreich, da wir Newton’s zweites Axiom ausnutzen wollen und dieses auch die Masse enthält.
Was wir bisher haben ist die Kraft für ein kurzes Längenelement – dieses würde im Fall δx → 0
ebenfalls verschwinden. Damit würde auch die Masse der Saite verschwinden. Also müssen
wir das Newton’sche Gesetz vor dem Grenzübergang δx → 0 anwenden. Die Saite hat eine
Massenbelegung ϱ, so dass ein Massenelement zwischen x − δx/2 und x + δx/2 die Masse
ϱ δx hat. Damit erhalten wir für die vertikale Beschleunigung
a vert (x, t) = T ϱ
lim
δx→0
1
δx
(
∂A
∂x
∣ − ∂A
)
∣x+δx/2
∂x ∣ .
x−δx/2
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode