Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

316 KAPITEL 8. MATRIZEN
1
√ (|↑↓〉 + |↓↑〉) = 1 ( )
0 1
√
2 2 1 0
= 1 √
2
σ 1
mit σ 1 als einer der Pauli’schen Spinmatrizen.
8.2.4 Determinanten
§ 1171 Eine Determinante ist eine Zahl, die sich als Ergebnis eines Zahlenschemas ergibt.
Ein lineares Gleichungssystem besitzt genau dann eine Lösung, wenn die Koeffizientendeterminante
nicht verschwindet: eine nicht-verschwindende Determinante bedeutet, dass alle
Gleichungen linear unabhängig sind. Dann ist das Gleichungssystem nicht unterbestimmt
und die Lösung ist eindeutig.
Definition 73 Die Determinante einer 2 × 2 Matrix A ist die Zahl
|A| = det A =
∣ a ∣
11 a 12 ∣∣∣
= a
a 21 a 11 a 22 − a 12 a 21 .
22
§ 1172 Der Wert einer zweireihigen Determinante ist also gleich dem Produkt der Hauptdiagonalelemente
minus dem der Nebendiagonalelemente.
Definition 74 Die Determinante einer 3 × 3 Matrix A ist die Zahl
|A| = ∣ a 1 a 2 a 3 ∣∣∣∣∣
det A =
b 1 b 2 b 3
∣ c 1 c 2 c 3
= a 1 b 2 c 3 + a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 − a 1 b 3 c 2 − a 2 b 1 c 3 − a 3 b 2 c 1 .
§ 1173 Dreireihige Determinanten lassen sich nach der Regel von Sarrus berechnen. Dazu
werden die Spalten 1 und 2 nochmals rechts neben die Determinante gesetzt. Den Determinantenwert
erhält man, indem man die drei Hauptdiagonalprodukte addiert und von dieser
Summe die drei Nebendiagonalprodukte subtrahiert:
Unterdeterminanten
§ 1174 Alternativ kann man eine dreireihige (oder allgemein n-reihige) Determinante auch
durch die Bildung von Unterdeterminanten bestimmen.
Definition 75 Die aus einer n-reihigen Determinante D durch Streichen der i ten Zeile und
k ten Spalte entstehende (n − 1)-reihige Determinante heißt Unterdeterminante von D und
wird durch das Symbol D ik gekennzeichnet:
.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode