Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

5.2. INTEGRATION VON FUNKTIONEN EINER VARIABLEN 169
h(x)
?
x
Abbildung 5.4: Wurde bei einer
Überquerung des Matterhorns
nur die jeweilige Steigung
als Funktion aufgezeichnet
(rote Kurve links), so lassen
sich unendlich viele Matterhörner
gleicher Form aber
unterschiedlicher Höhe daraus
rekonstruieren
Damit sind die Funktionen y 1 , y 2 , y 3 und y 4 jedoch auch alle Stammfunktionen der Funktion
f(x) = 2x.
§ 655 Abbildung 5.4 versucht die Bedeutung der Integrationskonstante nochmals zu illustrieren.
Bei einer Matterhornüberschreitung entlang des roten Pfades hat ein Bergsteiger
zwar genauestens die jeweilige lokale Steigung aufgezeichnet, allerdings an keiner Stelle eine
absolute Höhe angegeben. Zu Hause kann er aus den Steigungen unendlich viele Matterhörner
gleicher Form aber unterschiedlicher Höhe rekonstruieren, jeweils verschoben um eine Konstante.
Insbesondere weiß er aus dieser Rekonstruktion nicht einmal, ob er einen 2000er, einen
4000er oder gar einen 8000er überschritten hat. Erst das Nachschlagen der Höhe der Hütte
am Startpunkt erlaubt es, aus diesen Kurven die richtige auszuwählen, d.h. die Integrationskonstate
zu bestimmen.
5.2.1 Bestimmtes und unbestimmtes Integral
§ 656 Bei der Integration unterscheidet man zwischen dem bestimmten und dem unbestimmten
Integral. Die Stammfunktion F (x) ist Lösung des bereits diskutierten unbestimmten
Integrals:
∫
f(x) dx = F (x) + C .
Es ist unbestimmt eben auf Grund der unbestimmten Integrationskonstante.
§ 657 Das bestimmte Integral dagegen wird in einem Intervall [a, b] ausgewertet:
I(a, b) =
∫ b
a
f(x) dx = [F (x) + C] b a
= F (b) + C − (F (a) + C) = F (b) − F (a) . (5.3)
Sein Wert ist bestimmt durch die Integrationsgrenzen a und b, daher I(a, b). Beim bestimmten
Integral fällt die Integrationskonstante weg. Anschaulich gibt es die Fläche unter dem
Funktionsgraphen zwischen a und b.
§ 658 Ein Vertauschen der Integrationsgrenzen bewirkt einen Vorzeichenwechsel des Integrals
(Vertauschungsregel):
∫ b
a
f(x) dx = −
∫ a
b
f(x) dx oder I(a, b) = −I(a, b) .
Das ist offensichtlich, da die Differenz zwischen oberer und unterer Grenze nicht kommutativ
ist:
∫ b
a
f(x) dx = F (b) − F (a) = −(F (a) − F (b)) = −
∫ a
b
f(x) dx .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007