Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

1.6. MATHEMATISCHE ERGÄNZUNG 29
§ 139 Entsprechend gibt eine Gleichung der Form x+5y+z = 14 eine unendliche Lösungsmenge
von Zahlentripeln (x, y, z) = (λ, µ, 14 − λ − 5µ) für alle λ, µ ∈ R. Graphisch lassen sich
diese Lösungen interpretieren als eine unendliche Ebene im dreidimensionalen Raum (x, y, z).
§ 140 Mathematisch lässt sich eine derartige lineare Gleichung auf n-Dimensionen erweitern.
Formal hat die lineare Gleichung im n-dimensionalen Raum
die Lösung
a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + . . . a n x n = c (a i ≠ 0)
(x 1 , x 2 , . . . , x n ) =
(
λ 1 , λ 2 , . . . , λ n−1 , c − a )
1λ 1 − a 2 λ 2 − . . . − a n−1 λ n−1
.
a n
Ein Punkt im Lösungsraum wird dadurch bestimmt, dass die Komponenten x 1 , . . . , x n−1
vorgegeben werden und das zugehörige x n aus der linearen Gleichung bestimmt wird. Die n−1
freien Parameter λ 1 , . . . , λ n−1 bilden den Lösungsraum, die letzte Variable x n ist eindeutig
aus ihnen bestimmt.
Systeme linearer Gleichungen
§ 141 Interessanter wird es in einem System linearer Gleichungen, die gleichzeitig zu lösen
sind. Dieses Problem wird uns in seinen technischen Aspekten, insbesondere im Umgang
mit Matrizen, erst in Kap. 8 beschäftigen. Eine geometrische Interpretation eines linearen
Gleichungssystems können wir aber bereits hier vornehmen.
§ 142 Die drei Gleichungen
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = c 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = c 2
a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = c 3
bilden ein System aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten (x 1 , x 2 , x 3 ). Jede dieser
Gleichungen beschreibt eine Ebene und damit eine unendliche Lösungsmenge von Zahlentripeln.
Die gleichzeitige Lösung schränkt diese Unendlichkeit ein: alle Lösungen müssen die
Gleichungen für alle drei Ebenen erfüllen. Zwei beliebige, nicht parallele Ebenen haben einen
gemeinsamen Satz von Punkte: diese liegen alle auf der Geraden, die den Schnitt der beiden
Ebenen bildet. Im Falle eines eindeutig lösbaren Gleichungssystems schneidet die dritte
Ebene diese Gerade so, dass es einen eindeutigen Lösungspunkt gibt.
§ 143 Aus dieser geometrischen Interpretation ist offensichtlich, dass ein Gleichungssystem
nicht zwingend eindeutig lösbar ist. So können zwei der Ebenen parallel liegen: dann gibt es
keinen Punkt, der allen drei Ebenen gemein ist. Auch können zwei Ebenen zusammen fallen:
dann gibt es keine eindeutige Lösung sondern eine unendliche Lösungsmenge: die Schnittgerade
der dritten Ebene mit dieser ‘Doppelebene’. Liegen alle drei Ebenen aufeinander, so
ist die Lösung diese Ebene. Aber egal welche dieser Lösungen sich ergibt, es ist immer eine
lineare Lösung: Systeme linearer Gleichungen haben stets lineare Lösungen. Wir werden in
§ 158 nochmals darauf zurück kommen.
1.6.2 Vektorräume
§ 144 Unendlich ausgedehnte gerade Linien und ebene Flächen sind die Ergebnismengen
linearer Gleichungen. Aber was bedeutet ‘gerade’ und ‘eben’? Und wo kommen die Vektoren
ins Spiel?
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007