Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

442 KAPITEL 12. STATISTIK
Abbildung 12.2: Entscheidungsbaum
für den vierfachen Münzwurf; K bezeichnet
Kopf, Z Zahl. Die Ereignisse,
bei denen 3mal Kopf auftritt, sind
markiert
wenn beim Würfeln, oder kontinuierlich, z.B. in der Maxwell’schen Geschwindigkeitsverteilung.
Sie sind hilfreich, wenn es um Fragen geht wie ’
wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine
Zahl zwischen 2 und 5 zu würfeln‘ oder ’
wie viele Moleküle haben im Mittel Geschwindigkeiten
zwischen v und v + ∆v‘.
12.2.1 Grundbegriffe
Definition 98 Unter einer Zufallsvariablen oder Zufallsgröße verstehen wir eine Funktion,
die jedem Elementarereignis A aus der Ergebnismenge Ω eines Zufallsexperiments genau eine
reelle Zahl X(A) zuordnet.
§ 1651 Eine Zufallsvariable X heißt diskret, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich
viele reelle Werte annehmen kann. Eine Zufallsvariable X dagegen heißt stetig, wenn
sie jeden beliebigen Wert aus einem (reellen) endlichen oder unendlichen Intervall annehmen
kann.
§ 1652 Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X ist die Wahrscheinlichkeit P , dass
X einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich einer vorgegebenen reellen Zahl x ist: F (x) =
P (X ≤ x). Eine Zufallsvariable X wird durch ihre Verteilungsfunktion F (x) vollständig
beschrieben.
§ 1653 Die Verteilungsfunktion besitzt die folgenden Eigenschaften:
1. F (x) ist eine monoton wachsende Funktion mit 0 ≤ F (x) ≤ 1.
2. unmögliches Ereignis: lim
x→−∞ F (x) = 0
3. sicheres Ereignis: lim
x→∞ F (x) = 1
4. Die Wahrscheinlichkeit P (a < X ≤ b), dass die Zufallsvariable X einen Wert zwischen a
(ausschließlich) und b (einschließlich) annimmt, ist
P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a) . (12.6)
§ 1654 Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen X lässt sich durch
die Wahrscheinlichkeitsfunktion
{
pi x = x
f(x) =
i für i = 1, 2, 3...
0 für alle übrigen x
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode