Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

194 KAPITEL 5. INTEGRATION
Abbildung 5.13: Häufigkeitsverteilung
von mit rand erzeugten
Zufallszahlen; links 1000 Zahlen,
rechts 1 000 000 Zahlen
Abbildung 5.14: Test eines Zufallszahlengenerators:
im rechten sind
die Wertepaare statistisch verteilt,
d.h. die Zufallszahlen sind unabhängig
von einander. Die Musterbildung
im linken Teil weist auf
statistische Abhängigkeiten und
damit die Wiederholung hin
um einen recht einfachen Algorithmus: eine Saat-Zahl wird mit einer großen Zahl multipliziert,
eine andere große Zahl wird addiert und der entstehende Ausdruck wird in irgendeiner
Form normiert: so kann z.B. durch eine Zahl geteilt und der Rest betrachtet werden. Das
Ergebnis ist dann die Saat für die nächste Runde usw. Die Saat kann entweder eine im
Algorithmus fest gelegte Zahl sein oder sie kann extern vorgegeben werden, z.B. aus der Systemzeit.
Falls die Saat einen festen Wert hat, wird bei jedem Start des Zufallszahlengenerators
exakt die gleiche Sequenz von Zufallszahlen erzeugt. Falls bei jedem Start des Zufallszahlengenerators
eine andere Zahl als Saat verwendet werden kann, entweder durch den Benutzer
beim Aufruf des Programms vorgegeben oder z.B. aus der Systemzeit abgeleitet, wird jeweils
eine andere Serie von Zufallszahlen erzeugt.
In MatLab wird der Zustand des Zufallszahlengenerators bei jedem Start von MatLab
fest gelegt. Wird keine Saat übergeben, so erzeugt der Zufallszahlengenerator nach jedem
Start von MatLab exakt die gleiche Sequenz von Zufallszahlen. Wird rand während einer
MatLab-Sitzung mehrfach aufgerufen, so entsteht jedoch bei jedem Aufruf eine neue Folge
von Zufallszahlen, da die letzte Zufallszahl der n ten Folge die Saat für die (n+1) te Folge bildet.
Die in korrekter Reihenfolge an einander gehängten Sequenzen von Zufallszahlen dagegen sind
in jeder MatLab-Sitzung identisch.
§ 760 Mit Hilfe dieses Prozess sollen gleich verteilte Zahlen im Intervall [0,1] erzeugt werden.
Selbst einfache Zufallszahlengeneratoren erfüllen diese Bedingung in der Regel recht gut. In
Abb. 5.13 ist die Häufigkeitsverteilung von 1000 und 1 000 000 Zufallszahlen erzeugt mit
rand gegeben: im rechten Teil ist die Gleichverteilung deutlich zu erkennen. Im linken Teil
sind die statistischen Schwankungen noch so groß, dass keine Gleichverteilung zu erkennen
ist.
§ 761 Eine größeres Problem mit einem Algorithmus zu Erzeugung von Zufallszahlen ist die
Wiederholung: gibt der Zufallszahlengenerator eine Zahl aus, die bereits früher in der Zufallszahlensequenz
(oder als Saat) vorhanden war, so wird die gesamte Folge vom ersten Auftreten
dieser Zahl bis zu ihrer ersten Wiederholung immer wieder durchlaufen. Der Zufallszahlengenerator
hat keine Möglichkeit, aus dieser Schleife wieder auszubrechen. Tritt eine derartige
Wiederholung auf, so sind die Zufallszahlen nicht länger statistisch unabhängig. Ein einfacher
Test besteht darin, zwei Vektoren aus Zufallszahlen zu erzeugen und diese gegen einander
zu plotten. Sind die Zahlen statistisch unabhängig, so sind die Punkte wie im rechten Teil
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode