Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.8. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN DER PHYSIK 267
Separation der Variablen liefert:
dN
= −λ dt .
N
Da die Anfangsbedingung gegeben ist und nur die homogene DGL gelöst werden soll, können
die Anfangsbedingungen bei der Integrations als Integrationsgrenzen berücksichtigt werden:
∫ N
N 0
dN
N
∫t
= −
Umformen liefert als Lösung
N(t) = N 0 · e −λ(t−t0) .
t 0
λ dt und damit ln N N 0
= −λ(t − t 0 ) .
§ 1009 Eine gradlinige Bewegung mit Stokes’scher Reibung −βv wird formal ebenfalls durch
ein Zerfallsgesetz beschrieben – in diesem Fall zerfällt die Geschwindigkeit. Dazu gehen wir
von der Bewegungsgleichung in der Form m ˙v = F aus und setzen F = −βv. Daraus ergibt
sich wieder eine lineare homogene DGL erster Ordnung mit konstantem Koeffizienten (siehe
auch (7.3)):
˙v = −δv mit δ = β/m .
Mit der Anfangsbedingung v(t = 0) = v 0 ergibt sich die Lösung
v(t) = v 0 e −δt .
Für den Ort x(t) können wir ebenfalls eine Differentialgleichung dx = v dt aufstellen. Mit
der Anfangsbedingung x(0) = x 0 ergibt sich die Lösung
x = x 0 + v 0
(
1 − e
−δt ) .
δ
Aus der Kombination der beiden Lösungen ergibt sich für die Geschwindigkeit in Abhängigkeit
vom Ort
v(x) = v 0 − δ(x − x 0 ) .
§ 1010 Ein Kondensator der Kapazität C trägt eine Ladungsmenge Q max . Dieser Kondensator
wird über einen Widerstand R entladen. Dabei wirkt er als Spannungsquelle mit einer
von der Zeit abhängigen Spannung u(t) = −q(t)/C: 8 fließt der Strom durch den Widerstand,
so sinkt die Ladung q und damit auch die Spannung u. Der Strom durch den Widerstand
ist durch das Ohm’sche Gesetz i = u/R bestimmt. Gleichzeitig lässt sich der Strom auch als
die Änderung der Ladung auf dem Kondensator schreiben, d.h. i = ˙q. Damit ergibt sich als
Differentialgleichung für die auf dem Kondensator befindliche Ladung q:
i = u R = − 1
RC q ⇒ ˙q = − 1
RC q .
Diese DGL ist formal identisch mit der des radioaktiven Zerfalls, allerdings wird die Zerfallskonstante
λ durch den Kehrwert einer Zeitkonstante τ = RC ersetzt. Die Lösung ist daher
(mit der Anfangsbedingung q(0) = Q max )
q(t) = Q max e −t/τ ,
d.h. ein Kondensator entlädt sich gemäß einer Exponentialfunktion mit einer Zeitkonstante
τ = RC. Die Zeitkonstante gibt die Zeit an, in der die Ladung auf e −1 = 0.368 des Ausgangswertes
abgefallen ist. Ebenso gibt die Größe τ = 1/λ beim radiaoktiven Zerfall die
Zeit, in der die Zahl der Atome auf den Faktor e −1 des Werts am Beginn des Zeitintervalls
zurück gegangen ist und τ = m/∆ die Zeit, in der die Geschwindigkeit auf den Faktor e −1
der Ausgangsgeschwindigkeit gesunken ist.
8 Zur Konvention: große Buchstaben bezeichnen Konstanten, kleine Buchstaben dagegen die zeitabhängigen
Größen.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007