Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

8.2. RECHENTECHNIK 323
§ 1209 Fassen wir das alles in einem Beispiel zusammen. Die komplexe Matrix A lässt sich
in einen Real- und einen Imaginärteil zerlegen:
⎛
⎝ 1 i 1 − 2i
⎞ ⎛
i 2 − i 3 + 5i ⎠ = ⎝ 1 0 1
⎞ ⎛
0 2 3 ⎠ + i ⎝ 0 1 −2
⎞
1 −1 5 ⎠ .
1 − 2i 3 + 5i 1 − 2i 1 3 1 −2 5 −2
Die Determinante dieser Matrix ist nach Sarrus det A = 29 − 6i und nimmt damit, wie zu
erwarten, einen komplexen Wert an. Die Spur der Matrix SpA = 4 − 3i nimmt ebenfalls einen
komplexen Wert an. Die konjugiert komplexe Matrix entsteht, wenn jedes Matrixelement
durch sein konjugiert komplexes ersetzt wird:
⎛
A ∗ = ⎝
⎞
1 −i 1 + 2i
−i 2 + i 3 − 5i ⎠ ,
1 + 2i 3 − 5i 1 + 2i
Entsprechend ergibt sich die konjugiert transponierte Matrix zu
⎛
(A ∗ ) T = ⎝
⎞
1 −i 1 + 2i
−i 2 + i 3 − 5i ⎠ ,
1 + 2i 3 − 5i 1 + 2i
d.h. konjugiert transponierte und konjugierte komplexe Matrix sind zwar identisch, nicht
jedoch gleich der Ausgangsmatrix A: A ∗T = A ∗ ≠ A. Die Matrix ist also nicht hermitesch.
8.2.8 Eigenwerte und Eigenvektoren
§ 1210 Eine Matrix beschreibt die Abbildung von einem Vektorraum in einen anderen. Betrachten
wir dazu nochmals die Matrix aus § 1196 und ihre Wirkung auf einen Vektor ⃗r:
⎛
⎝ 1/√ 2 1/ √ ⎞ ⎛
2 0
−1/ √ 2 1/ √ 2 0 ⎠ ⎝ x ⎞ ⎛
y ⎠ = ⎝ (x + y)/√ ⎞
2
(y − x)/ √ 2 ⎠ .
0 0 1 z
z
Bei dieser Transformation bleibt die z-Komponente unverändert, d.h. die Transformation
findet nur in der xy-Ebene statt. Dabei wird aus ⃗e x = (1, 0, 0) ein Vektor (1/ √ 2, −1/ √ 2, 0)
entlang der Winkelhalbierenden des vierten Quadranten mit der Länge 1. Aus ⃗e y = (0, 1, 0)
wird entsprechend ein Vektor (1/ √ 2, 1/ √ 2, 0) entlang der Winkelhalbierenden des ersten
Quadranten mit der Länge 1. Die Matrix beschreibt eine Abbildung, bei der der Vektor um
π/4 im Uhrzeigersinn gedreht wird.
§ 1211 Eine Gleichung der Form
A⃗x = λ⃗x mit ⃗x ≠ 0 (8.8)
definiert die Eigenwerte λ und Eigenvektoren ⃗x der Matrix A.
§ 1212 Gleichung 8.8 definiert einen Eigenvektor als einen Vektor, der bei der Abbildung
mit Hilfe der Matrix A auf sich selbst projiziert wird, allerdings um einen Faktor λ, den
Eigenwert, gestreckt oder gestaucht und bei negativem λ auch in entgegen gesetzter Richtung
weisend. Eigenvektoren beschreiben also spezielle Richtungen, die sich bei der Projektion mit
A nicht verändern, d.h. die bis auf die Streckung oder Stauchung invariant bezüglich dieser
Transformation sind.
§ 1213 Da der Erhalt der Richtung die relevante Eigenschaft eines Eigenvektors ist, ist
zu jedem Eigenvektor ⃗x auch ein Vielfaches α⃗x Eigenvektor der Matrix A. Der zugehörige
Eigenwert ist dann λ/α. Praktisch bedeutet dies, dass Eigenvektoren immer nur bis auf
einen konstanten Faktor genau bestimmt werden müssen (und können). In der Regel werden
Eigenvektoren daher im Sinne einer Richtungsangabe als Einheitsvektoren dargestellt.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007