Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

370 KAPITEL 10. VEKTORANALYSIS
Abbildung 10.1: Arbeit beim Anstieg
von A nach B, folgend dem Weg von
Reinhold Messner (grün) oder eher
dem des normalen Physik-Studierenden
(rot)
§ 1382 Als Beispiel betrachten wir die skalare Anwendung des Nabla Operators auf das
elektrische Feld. Das Ergebnis dieser Operation wird im Gauß’schen Gesetz des elektrischen
Feldes beschrieben:
∇ · ⃗E = div ⃗ E = − 1
4πε 0
ϱ .
Die so bestimmte Divergenz des elektrischen Feldes, ∇ · ⃗E = div ⃗ E, ist bis auf eine Konstante
identisch mit der Ladungsdichte ϱ der das Feld erzeugenden Ladungen. Die Divergenz
ist demnach eine Größe, die ein Vektorfeld, in diesem Fall das elektrische Feld, mit seinen
Quellen, in diesem Fall der Ladungsdichteverteilung, in Beziehung setzt. Die Divergenz ist
also ein Maß für die Quellstärke des elektrischen Feldes.
§ 1383 Auch für die vektorielle Multiplikation des Nabla Operators mit einem Vektorfeld
liefern die Maxwell’schen Gesetze ein Beispiel. So verbindet das Ampere’sche Gesetz die
Rotation des Magnetfeldes ⃗ B mit der Stromdichte ⃗j (also eine Strom pro Fläche):
∇ × ⃗ B = rot ⃗ B = −µ 0
⃗j .
Ein einfaches anschauliches Beispiel sind die konzentrischen Magnetfeldlinien um einen von
einem Strom durchflossenen Draht. Diese lassen sich als Wirbel beschreiben; die Rotation
eines Vektorfeldes wird daher als dessen Wirbelhaftigkeit interpretiert.
§ 1384 Der Nabla Operator vereinfacht die Beschreibung eines Feldes im Hinblick auf Steigung,
Quellen und Wirbel erheblich. Aus physikalischer Sicht gibt es in einem Feld noch
andere Fragen, zu deren Untersuchung die Vektoranalysis hilfreich ist. Abbildung 10.1 illustriert
ein einfaches Beispiel. Im Gravitationsfeld wird beim Verschieben eines Körpers von
einem Potential auf ein anderes eine Arbeit verrichtet. Bereits in § 122 haben wir die Arbeit
W formal als
∫
W = ⃗F · d⃗s (10.1)
definiert mit ⃗ F als der Kraft und ⃗s als dem zurück gelegten Weg. Wie Abb. 10.1 andeutet, gibt
es verschiedenen Wege um von A nach B zu gelangen: Reinhold Messner würde den direkten
grünen Weg bevorzugen (– immer dem Gradienten des Feldes folgend und kommen einem
noch so viele Steine oder Lawinen entgegen), der Normalstudierende würde wahrscheinlich
eher der Straße, angedeutet durch die rote Kurve, folgen. Wer von Ihnen verrichtet die größere
Arbeit?
§ 1385 Blödsinn, sollten Sie an dieser Stelle einwenden. Das Gravitationsfeld ist konservativ,
d.h. die Arbeit beim Verschieben eines Körpers zwischen zwei Punkten hängt nur von
diesen Endpunkten, nicht aber dem dazwischen eingeschlagenen Weg ab. Um diese Aussage
zumindest für die beiden Wege in Abb. 10.1 verifizieren zu können, müssen wir das Integral
(10.1) ausführen. Dazu müssen wir den Weg ⃗s geeignet mit Hilfe einer skalaren Größe
parametrisieren, so dass das Integral (10.1) ausgeführt werden kann: der rote Pfad ist zwar
ein Gebilde im 3D, allerdings können wir den Ort eines Körpers auf diesem Pfad mit einer
Variablen, z.B. dem Streckenkilometer, eindeutig beschreiben. Die Integration erfolgt dann
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode