Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

4.4. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLEN 135
§ 525 Eine Archimedische Spirale ist die Kurve, die ein Punkt beschreibt, der sich mit konstanter
Geschwindigkeit v auf einem Strahl bewegt, der mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
ω um den Ursprung rotiert, siehe § 430 und Abb. 3.18:
r(ϕ) = aϕ mit a = v/ω > 0 .
Wir stellen die Kurve in kartesischen Koordinaten dar
x = r(ϕ) cos ϕ und y = r(ϕ) sin ϕ ,
mit (den Ableitungen
ẋ = a cos ϕ − aϕ sin ϕ und ẏ = a sin ϕ + aϕ cos ϕ .
Einsetzen in (4.3) liefert für die Ableitung
y ′ =
a sin ϕ + aϕ cos ϕ
a cos ϕ − aϕ sin ϕ .
4.4 Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen
§ 526 Die Definitionen von Grenzwert und ähnlichen Begriffen gelten für Funktionen mehrerer
Variablen sinngemäß so wie für Funktionen einer Variablen (siehe Abschn. 3.6). Da der
für die Differentation wichtige Begriff des Grenzwerts direkt übertragen werden kann, kann
auch die Differentiation direkt auf Funktionen mehrerer Variablen ausgeweitet werden. Zum
Verständnis ist allerdings eine Unterscheidung wichtig: der Begriff des Grenzwerts wird über
die Annäherung in allen unabhängigen Variablen definiert, also über den Abstand r. Die
Ableitung dagegen wird für jede der unabhängigen Variablen separat gebildet. Anschaulich
bedeutet dies, dass entlang jeder Koordinatenachse die Steigung bestimmt wird. Diese Steigungen
können zu einer ‘Gesamtsteigung’ kombiniert werden, dem Gradienten der Funktion.
4.4.1 Partielle Ableitung
§ 527 Die partielle Ableitung ist derart definiert, dass sie die Steigung der Funktion entlang
einer der unabhängigen Variablen betrachtet. Das erinnert an die Hinweise zur anschaulichen
Konstruktion einer Funktion mehrerer Variablen in Abb. 3.20: die Funktion mehrerer Variablen
wird als eine Funktion nur einer der unabhängigen Variablen betrachtet, die anderen
Variablen werden konstant gehalten: f(x1, x, 2, . . . , x n ) → f(x 1 , c 2 , . . . , c n ). Diese Betrachtung
der Abhängigkeit von nur einer Variablen zur Zeit erlaubt die direkte Übertragung aller
bisher in diesem Kapitel verwendeten Definition und Differentiationsregeln.
Anschaulich: Funktion zweier Variablen
§ 528 Bei der Differentiation einer Funktionen mehrerer Variablen leiten wir die Funktion
nach einer der Variablen ab und betrachten die andere Variable als Konstante:
∂f(x, y)
f(x + ∆x, y) − f(x, y)
= f x = ∂ x = lim
mit y = const
∂x
∆x→0 ∆x
und
∂f(x, y)
∂y
f(x, y + ∆y) − f(x, y)
= f y = ∂ y = lim
∆y→0 ∆y
mit x = const .
Diese Ableitung wird als partielle Ableitung bezeichnet, da die Funktion nur teilweise, eben
nach nur einer der unabhängigen Variablen, abgeleitet wird. Daher wird auch nicht das gerade
d des Differentialquotienten verwendet sondern ein geschwungenes Delta: ∂. Eine abkürzende
Schreibweise wie f ′ ist nicht sinnvoll, da explizit angeben werden muss, nach welcher der Variablen
abgeleitet werden soll. Für eine abkürzende Schreibweise wird stattdessen f x bzw. f y
verwendet, wobei der Index angibt, nach welcher Variablen abgeleitet wurde oder alternativ
∂ x bzw. ∂ y . In dieser Schreibweise wird deutlicher, dass es sich um eine Ableitung handelt – f x
kann auch leicht als die Komponente einer vektorwertigen Funktion missverstanden werden.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007