Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

132 KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG
Tabelle 4.1: Tabelle wichtiger Ableitungen
f(x) f ′ (x) f(x) f ′ (x)
x n n x n−1 a = const 0
1
sin x cos x
sin x
− cos x
sin 2 1
cos x − sin x
cos x
− sin x
cos 2 x
sinhx coshx coshx sinhx
e x e x e −ax −a e −ax
1
ln x
x
ln x n n x
a x (ln a) a x x e x (1 + x) e x
4.3.1 Wichtige Ableitungen
§ 515 Einige wichtige Ableitungen sind in Tabelle 4.1 zusammen gefasst. Die erste Zeile
enthält links die bereits bekannte Grundregel, nämlich die Ableitung von Potenzen. Rechts
davon steht, dass die Ableitung einer Konstante verschwindet. Dies ist der Spezialfall der
Ableitung einer Potenz für n = 0: statt a kann man auch a = a · 1 = a · x 0 schreiben. Anwendung
der Ableitungsregel liefert die Null als Vorfaktor, d.h. der sich ergebende Ausdruck
verschwindet. Die zweite und dritte Zeile enthalten die Ableitungen von Sinus und Kosinus;
beide haben wir ebenfalls bereits in Abschn. 4.2.3 diskutiert. In den rechten Spalten stehen
die Ableitungen der Kehrwerte der beiden Funktionen – sie lassen sich durch Anwendung
der Kettenregel mit Hilfe der Ableitungen für die Potenzfunktion und die entsprechende
Winkelfunktion bestimmen:
d
dx
1
sin x = d
dx sin−1 x = − sin −2 x cos x = − cos x
sin 2 x .
§ 516 Die Ableitungen der hyperbolischen Funktionen sind wieder hyperbolische Funktionen.
Sie lassen sich auf die Ableitung der Exponentialfunktion und die Definition der hyperbolischen
Winkelfunktionen mit Hilfe der Exponentialfunktion zurück führen:
d
dx sinhx = d
dx
( e x − e −x )
2
= ex − (−e −x )
2
= ex + e −x
2
= coshx .
§ 517 In der fünften Zeile ist links die ebenfalls aus Abschn. 4.2.3 bekannte Ableitung der
Exponentialfunktion gegeben; in der rechten Spalte wird die Kettenregel verwendet, da das
Argument der Exponentialfunktion selbst eine Funktion ist. Die folgenden Zeilen betreffen
den Logarithmus und allgemeine Exponentialfunktionen. Dabei ist jeweils die linke Seite
eine zu lernende Ableitung, die rechte ergibt sich durch Anwendung von Ketten- und/oder
Produktregel.
§ 518 Weitere Ableitungen finden Sie in Formelsammlungen, z.B. [1, 7, 12, 21, 70]. Für viele
andere Funktionen lassen sich die Ableitungen mit Hilfe von Tabelle 4.1 unter Anwendung
von Rechenregeln herleiten; so ergibt sich z.B. die Ableitung des Tanges durch Anwendung
der Produktregel auf den Quotienten sin x/ cos x.
4.3.2 Grundregeln des Differenzierens
§ 519 Von den Grundregeln der Differentiation sind zwei trivial: die Summen- und die Faktorregel
lassen sich intuitiv einsehen. Beide reflektieren die Linearität der Differentiation.
Die Kettenregel behandelt die Differentiation einer Funktion, deren Argument wieder eine
Funktion ist. Dieser Fall tritt in der Physik recht häufig auf.
• Faktorregel: wird eine Funktion f(x) mit einem konstanten Faktor α = const multipliziert,
so kann α beim Ableiten des Produktes aus der Differentiation heraus gezogen werden:
d(α f(x)
) = α df(x)
dx dx .
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode