Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

78 KAPITEL 2. FOLGEN UND REIHEN
f n = 2n
n! , g n = cosh n
sinh n , h n = 2 1/n
(
, i n = 1 + 1 n
, j n =
n
n)
Geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an.
n=1
( ) n n − 1
.
n + 1
Aufgabe 31 Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
∞∑ 1
∞∑
s 1 =
n! , s ln n
∞∑ 3
2 =
n , s ln n
∞∑
3 = , s 4 = ne −n2 , s 5 =
n
s 6 =
∞∑
n=1
n=1
1
√ 2n + 1
, s 7 =
∞∑
n=1
n=1
1
n + √ n , s 8 =
Geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an.
Aufgabe 32 Zeigen Sie, dass
∞∑ (−1) n+1
= 1 − e −1 .
n!
n=1
Aufgabe 33 Das Integral
I =
∫ 1
0
sin x
x 2
dx
∞∑
n=1
n=1
1
n + n 3/2 .
∞∑
n=1
1
n 2 + 3 ,
stellt uns vor einige Probleme, da die zu integrierende Funktion an der unteren Integrationsgrenze
x = 0 eine Null im Nenner hat. Da an dieser Stelle aber auch der Zähler Null
wird, ist nicht ausgeschlossen, dass die Funktion einen endlichen Wert annimmt und damit
das Integral endlich wird. Überprüfen Sie mit Hilfe einer Reihenentwicklung, ob das Integral
endlich oder unendlich wird.
Aufgabe 34 Bestimmen Sie das Integral
I =
∫ 1
0
sin x
x
dx
durch Reihenentwicklung auf vier Nachkommastallen genau.
Aufgabe 35 Entwickeln Sie die folgenden Funktionen in eine MacLaurin’sche Reihe: f(x) =
sinhx, g(x) = arctanx und h(x) = ln(1 − x 2 ).
Aufgabe 36 Entwickeln Sie die folgenden Funktionen um die Stelle x 0 in eine Taylor-Reihe:
f(x) = cos x bei x 0 = π/3, g(x) = √ x bei x 0 = 1, h(x) = x −2 − 2/x bei x 0 = 1.
Aufgabe 37 Berechnen Sie f(x) = √ 1 − 0.05 durch Reihenentwicklung.
Aufgabe 38 Berechnen Sie cos 0.14 durch Reihenentwicklung.
Aufgabe 39 Entwickeln Sie ((sin x)/x) 2 in ein Polynom vierter Ordnung.
Aufgabe 40 Entwickeln Sie e −x / √ 1 + x um die Stelle 0 in ein Polynom zweiter Ordnung.
Aufgaben mit MatLab-Bezug
Aufgabe 41 Überprüfen Sie mit Hilfe von MatLab ob Ihre Lösungen für die Aufgaben 30
und 31 sinnvoll sein können.
Aufgabe 42 Bestimmen Sie, ab welchem Term die Differenz zweier auf einander folgender
Glieder der Folgen in Aufgabe 30 kleiner als 10 −4 wird.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode