Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

5.1. MOTIVATION 167
Abbildung 5.3: Flächenbestimmung
durch Zerlegung in
Quadrate ∆x ∆y
Im Grenzübergang ∆x → 0 und ∆y → 0 wird aus der Doppelsumme ein Doppelintegral:
lim
∑x 2 y 2
∆x→0 ∆y→0
x 1
V = lim
∑
y 1
f(x, y) ∆x ∆y =
∫ x 2
∫
x 1
y 2
y 1
f(x, y) dx dy .
Für Funktionen von n Variablen lassen sich entsprechend nfach-Integrale definieren, allerdings
unter Verzicht auf die Anschauung.
§ 648 Welche Bedeutung hat ein Doppelintegral, wenn die Funktion f(x, y) = 1 ist? Um die
geometrische interpretation beizubehalten, setzen wir f(x, y) = 1 L mit L für Längeneinheit.
Das Doppelintegral wird in diesem Fall
V =
∫ x 2
∫
y 1
x 1
y 2
1 L dx dy = 1 L
∫ x 2
∫
x 1
y 2
y 1
dx dy .
Ein Volumen hat die Dimension L 3 , d.h. Division durch 1 L macht aus dem Volumen V eine
Fläche A:
∫ x 2 ∫
A = dx dy .
y 1
x 1
y 2
Ein Doppelintegral über die Funktion f(x, y) = 1 kann also zur Bestimmung einer durch die
Integrationsgrenzen definierten Fläche verwendet werden.
§ 649 Abbildung 5.3 veranschaulicht den Zusammenhang. Die Fläche der Ellipse können wir
bestimmen, in dem wir sie in kleine Quadrate mit der Fläche ∆A = ∆x ∆y zerlegen. Die
Gesamtfläche ist die Summe über diese Quadrate: A = ∑ ∆A. Wenn wir diesen Ausdruck
als Dopppelsumme schreiben, müssen wir bei den Summationsgrenzen aufpassen. Die äußere
Summation entlang der x-Achse läuft von x 1 bis x 2 . Die innere Summe dagegen läuft nur in
der Mitte der Ellipse bei 1 2 (x 1 +x 2 ) von y 1 bis y 2 ; für andere Werte x k von x dagegen beginnt
die Summation nicht bei y 1 sondern erst bei y(x k ) und hört auch entsprechend früher auf.
Die Fläche lässt sich daher annähern als
A = ∑ ∑x 2
∆A =
x 1
y∑
2(x)
y 1(x)
∆x ∆y .
Im Grenzübergang ∆x → 0 und ∆y → 0 wird aus dieser Doppelsumme wieder ein Doppelintegral:
A =
∫ x y 2(x)
2 ∫
x 1 y 1(x)
dx dy .
Die Herausforderung an diesem Doppelintegral ist die korrekte Bestimmung der Integrationsgrenzen
zur Beschreibung der Fläche.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007