Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

2.4. POTENZREIHEN ENTWICKLUNG 61
Leibniz Kriterium für alternierende Reihen
§ 248 Für eine Nullfolge (a n ) mit ausschließlich positiven Gliedern, d.h. a n > 0 ∀n ∈ N, gilt,
dass die alternierende Reihe immer konvergiert.
§ 249 Zum Beweis des Leibniz Kriteriums werden die geraden und ungeraden Glieder der
Folge der Partialsummen
s n = a 0 − a 1 + a 2 − a 3 + . . . + (−1) n a n
getrennt betrachtet:
s 2n+1 − s 2n−1 = −a 2n+1 + a 2n > 0 und s 2n − s 2(n−1) = a 2n − a 2n−1 < 0 .
Die Partialsummen mit ungeradem n wachsen daher an während die mit geradem n immer
kleiner werden:
s 0 > s 2 > s 4 > s 6 > . . . > s 2n und s 1 < s 2 < s 5 < s 7 < . . . < s 2n+1 .
Die ungeraden Terme streben also entweder gegen einen endlichen Grenzwert oder gegen
+∞, die geraden entsprechend gegen einen endlichen Grenzwert oder gegen −∞. Gleichzeitig
strebt die Differenz zwischen zwei aufeinander folgenden Werten der Reihe, |s n+1 −s n | = |a n |,
mit wachsendem n gegen Null. Also müssen die geraden und ungeraden Terme gegen den
gleichen Grenzwert streben. Dieser muss daher endlich sein.
§ 250 Dieser Test ist einfach und hat eine Vielzahl Anwendungen:
• liegt eine alternierende Folge vor, so muss nur geprüft werden, ob die Beträge der Summanden
konvergieren. Für die Reihe
∞∑
n=1
1
√ n
= 1 − 1 √
2
+ 1 √
3
− 1 √
4
+ 1 √
5
− 1 √
6
+ . . . + 1 √ n
+ . . .
ist dies sicherlich der Fall, da 1/ √ n eine Nullfolge ist.
• in eine Reihe, die auf einer Folge mit ausschließlich positiven Summanden basiert und die
konvergiert, können ruhig einige negative Vorzeichen eingestreut werden: die Konvergenzeigenschaften
ändern sich dabei nicht. Diese neue Reihe ∑ a n wird als absolut konvergent
bezeichnet, da nicht nur ∑ a n konvergiert sondern auch ∑ |a n |.
Quotienten Kriterium
§ 251 Das Quotienten Kriterium ist eine Verallgemeinerung des Ansatzes, der bereits beim
Test der geometrischen Reihe auf Konvergenz verwendet wurde. Für die Reihe S = ∑ a n
gilt:
∑
n→∞
∣
∣ {
a n+1 ∣∣∣ < 1 S konvergiert
a n > 1 S divergiert
2.4 Potenzreihen Entwicklung
.
§ 252 Die voran gegangenen Abschnitte dieses Kapitels waren aus mathematischer Sicht
wichtig, insbesondere zum Verständnis des für Differential- und Integralrechnung grundlegenden
Begriffs des Grenzwertes. Dieser Abschnitt bildet den rechentechnisch wichtigsten
Abschnitt: hier wird dargestellt, wie sich Funktionen durch eine Reihe annähern lassen. Konvergiert
diese Reihe, so ist es ausreichend, die ersten Terme zu berücksichtigen; die höheren
Potenzen können vernachlässigt werden. Die Anwendungen einer derartigen Reihenentwicklung
in Mathematik und Physik sind vielfältig:
• unbekannte Funktionswerte lassen sich aus bekannten abschätzen (z.B. § 263).
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007