Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

430 KAPITEL 11. PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Abbildung 11.9: Pfad eines Teilchens unter
dem Einfluss von Stößen mit anderen Teilchen
(Brown’sche Bewegung) und Verteilung der
zwischen zwei aufeinander folgenden Stößen
zurück gelegten Strecken L
Abbildung 11.10: Galton Brett: viele
kleine, stochastisch verteilte Streuungen
arbeiten so zusammen, dass sich eine
Gauß Verteilung bildet
für die hier betrachtete eindimensionale Bewegung. Bei dreidimensionaler Bewegung ist
D = 1 3 vλ .
§ 1602 Anschaulich ist der Diffusionskoeffizient ein Maß für die Beweglichkeit der Ameisen.
Mit zunehmender Geschwindigkeit wird die Beweglichkeit größer, da in einer Zeiteinheit ein
größerer Weg und damit eine größere Anzahl von Schritten in λ zurückgelegt werden kann:
das N in (11.37) wird größer. Eine größere mittlere freie Weglänge λ dagegen erlaubt größere
Schritte und damit ein schnelleres Anwachsen des Abstands vom Ursprungsort.
§ 1603 In unserem Ameisenbild ist die mittlere freie Weglänge als der Abstand zwischen zwei
aufeinander folgenden Entscheidungen über die Richtungsänderung eine konstante Größe.
Bei der Ausbreitung von Rauch in Luft dagegen ist der Abstand zwischen zwei aufeinander
folgenden Kollisionen eines Rauchteilchens mit der Luft zufällig (Brown’sche Bewegung).
Betrachtet man den Pfad eines Teilchens, so ergibt sich z.B. das linke Bild in Abb. 11.9: die
Bewegung lässt sich aus vielen geraden Abschnitten verschiedener Längen L zusammensetzen.
Die Verteilung der Weglängen L zwischen aufeinander folgenden Stößen ist im rechten Teil
der Abbildung gezeigt. Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung für L kann als eine Funktion
p = a exp(−L/λ) beschrieben werden, wobei a eine Konstante ist und λ die mittlere freie
Weglänge. Sie ist definiert für den Wert von L, bei dem die Verteilung auf N/e abgesunken
ist.
§ 1604 Welche Bedeutung hat aber der mittlere quadratische Abstand im Bezug auf die Eingangs
erwähnte Verteilung? Um den Zusammenhang zu verstehen, müssen wir den Übergang
von einer Ameise auf eine Ameisenherde vornehmen. Diesen können wir mit Hilfe des Galton-
Bretts veranschaulichen, vgl. Abb. 11.10. Dieses besteht aus Reihen von Nägeln und erlaubt
es, die Streuung, die ein Teilchen erfährt, anschaulich darzustellen: wenn die am obersten Nagel
beim Pfeil startenden Bälle herab fallen, treffen sie auf einen Nagel und werden nach links
oder rechts abgelenkt. Dort treffen sie einen Nagel der nächsten Reihe und werden wiederum
abgelenkt. Dieser Prozess wiederholt sich, bis der Ball in der untersten Reihe aufgefangen
wird. Die Stelle, an der der Ball zur Ruhe kommt, ergibt sich dann aus einer großen Zahl von
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode