Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

12 KAPITEL 1. VEKTOREN
Abbildung 1.7: Zylinderkoordinaten:
der
Ortsvektor ⃗r wird
dargestellt durch den
Abstand ϱ von der
Drehachse, den Azimuth
ϕ und die Höhe z
über der Ebene z = 0
Achtung: der Betrag des Ortsvektors r = |⃗r| = √ x 2 + y 2 + z 2 wird nicht als Koordinate
verwendet sondern der Abstand ϱ = √ x 2 + y 2 von der z-Achse, entsprechend dem r in
Polarkoordinaten.
§ 78 Ähnlich Polarkoordinaten lassen sich Zylinder-Koordinaten durch r-, ϕ- und z-Flächen
darstellen, auf denen die entsprechende Koordinate konstant ist. So ist eine r-Fläche der
Mantel eines Zylinders mit konstantem r, der um die z-Achse zentriert ist. Eine r-Linie wie
in Polarkoordinaten ergibt sich als der Schnitt dieses Zylinders mit einer z-Fläche, d.h. einer
senkrecht zur z-Achse liegenden Ebene, auf der z konstant ist.
Verständnisfrage 1 Und wie liegt die ϕ-Fläche?
§ 79 Ein Vektor in Zylinderkoordinaten wird durch die Einheitsvektoren ⃗e ϱ , ⃗e ϕ und ⃗e z beschrieben,
vgl. Abb. 1.7: ⃗a(ϱ, ϕ, z) = a ϱ ⃗e ϱ + a ϕ ⃗e ϕ + a z ⃗e z mit
⎛
⃗e ϱ = ⎝ cos ϕ
⎞
⎛
sin ϕ ⎠ , ⃗e ϕ = ⎝ − sin ϕ
⎞
⎛
cos ϕ ⎠ und ⃗e z = ⎝ 0 ⎞
0 ⎠ .
0
0
1
Die Einheitsvektoren ⃗e ϱ und ⃗e ϕ sind bereits von den Polarkoordinaten bekannt: ⃗e ϱ steht
senkrecht auf der Zylinderoberfläche und weist radial nach außen. Da er senkrecht auf der
Zylinderoberfläche steht, liegt er gleichzeitig parallel zur xy-Ebene. Der Einheitsvektor ⃗e ϕ
liegt ebenfalls parallel zur xy-Ebene und gleichzeitig tangential zum Zylindermantel. Der
dritte Einheitsvektor, ⃗e z , ist unverändert aus den kartesischen Koordinaten übernommen.
§ 80 Zylinderkoordinaten werden bei zylindersymmetrischen Geometrien verwendet, d.h.
wenn die Größen nur vom Abstand ϱ zu einer Achse abhängen. Beispiele sind das Magnetfeld
um einen stromdurchflossenen Draht, die Bestimmung des Trägheitsmoment eines Rotationskörpers
oder die Ausbreitung einer Wasserwelle um die Einschlagstelle eines Steins.
1.3.4 Kugelkoordinaten
§ 81 Betrachten wir jetzt einen Körper, der sich auf einer Kugel bewegt – z.B. Sie auf einer
Kugel mit 6370 km Radius, auch Erde genannt. Das ist ein dreidimensionaler Raum aber für
die genaue Ortsangabe sind zwei Koordinaten ausreichend: die geographische Länge und die
geographische Breite. Da beide in Grad angeben werden, haben sie offenbar etwas mit einem
Winkel zu tun, der in der Länge von 0 ◦ bis 360 ◦ läuft, in der Breite aber nur von −90 ◦ bis
+90 ◦ .
§ 82 Die mathematische Variante der geographischen Koordinaten sind Kugelkoordinaten,
wie in Abb. 1.8 dargestellt. Der Ort ⃗r eines Punktes wird angegeben durch die Länge
r des Ortsvektors, dessen Winkel ϑ gegen die positive z-Achse, entsprechend einer etwas
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode