Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

218 KAPITEL 6. KOMPLEXE ZAHLEN
Abbildung 6.7: Generator für die
Koch’sche Schneeflocke: in jeder Stufe
erhöht sich die Anzahl der Strecken um
einen Faktor 4.
wird sie aus einem gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge a konstruiert, siehe linkes Teilbild in
Abb. 6.6. Selbstähnlichkeit ist das Leitmotiv, d.h. auf der jeweils kleineren Skala soll wieder
ein gleichseitiges Dreieck auftreten. Also Dritteln wir jede Seite und ersetzen das mittlere
Drittel durch ein gleichseitiges Dreieck dessen Spitze nach außen weist, siehe mittleres Teilbild
in Abb. 6.6. Dieser Vorgang wird immer wieder wiederholt. Wie groß ist der Umfang der
Schneeflocke?
§ 856 Da alle drei Seiten der Koch’schen Schneeflocke abgesehen von ihrer Orientierung
identisch sind, reicht es, eine Seite zu betrachten. Dieser Initiator wird mit einem Kochrezept,
dem Generator, verändert, siehe die unteren beiden Teilbilder in Abb. 6.7. Aus der einen
Strecke sind jetzt 4 Strecken geworden, allerdings mit einer um den Faktor 1/3 reduzierten
Länge. Die Länge der Ausgangsstrecke ist um den Faktor 4/3 vergrößert: L 1 = 4 3a. Jede der
neuen Teilstrecken kann als Initiator des nächsten Schritts verwendet werden. Nach Schritt
2 ist die Länge L 2 = a (4/3) 2 . Allgemein erhalten wir damit für den Umfang U k nach dem
k ten Schritt
1
3 U k = L k = 4 3 L k−1 =
( 4
3
) k
a . (6.17)
Da in dieser Reihe jeder Wert um einen festen Faktor größer ist als der voran gegangene,
konvergiert diese Reihe nicht.
§ 857 Setzen wir die Konstruktion weiter fort, so sind die Kurven ab einem bestimmten k
kaum noch zu unterscheiden, da die mit jedem Schritt entstehenden Änderungen unter die
Sichtbarkeitsgrenze fallen – bei einem schlechten Drucker erscheint das vielleicht als etwas
ausgefranste und verbreiterte Linie.
§ 858 Zur Charakterisierung eines Fraktals wird die Hausdorff Dimension oder fraktale Dimension
verwendet. Diese ist bestimmt durch die Zahl N der identischen Objekte, die mit
jedem Schritt entsteht, und durch den Skalierungsfaktor s, um den das Objekt verkleinert
wird. Für die Koch’sche Schneeflocke ist N = 4 und s = 3: aus einer Geraden werden N = 4
Geraden, allerdings beträgt die Länge dieser Geradenstücke nur jeweils 1 s
= 1 3
. In einer
Kurve, die an keiner Stelle differenzierbar ist: führt man die Iteration unendlich oft aus, so ist jeder Punkt ein
Eckpunkt, d.h. die Kurve ist an der Stelle nicht differenzierbar, da es keine eindeutige Tangente gibt. Trotzdem
ist sie stetig, da sie in einem Zug durchgezeichnet werden kann. Eingeführt (oder zumindest verbreitet) wurde
der Begriff Fraktal erst durch die Arbeiten Mandelbrots.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode