Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

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INHALTSVERZEICHNIS
11.6.5 Dreidimensionale Diffusionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
11.6.6 Separationsansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
11.7 Mathematische Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
11.8 PDGLs in MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
12 Statistik 435
12.1 Grundlagen Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
12.1.1 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
Variationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
12.1.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
12.1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
12.1.4 Bayes’sche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
12.2 Verteilungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
12.2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
12.2.2 Kenngrößen einer Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
12.2.3 Binominal Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
12.2.4 Poisson-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
12.2.5 Gauß’sche Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
12.3 Entropie und Maxwell Boltzmann-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
12.3.1 Information und Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
Informationsgehalt bei gleichwahrscheinlichen, unabhängigen Symbolen
(Laplace-Experiment) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
Informationsgehalt bei Symbolen unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit 455
Entropie und Shannon-Funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
Eigenschaften der Entropie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
12.3.2 Maximale Unbestimmtheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
12.3.3 Maxwell Boltzmann-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
12.4 Fehlerrechnung (deskriptive Statistik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
12.4.1 Charakterisierung von Messdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
12.4.2 Verteilung, Mittelwert und Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
(Normalverteilte) Messwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
Zählen‘ und Poisson-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
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12.4.3 Mittelwert und Standardabweichung
aus den Messwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
12.4.4 Vertrauensbereich für den Mittelwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
12.4.5 Fehlerfortpflanzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
12.4.6 Ausgleichsrechnung: Lineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
Kochbuch‘: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
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Andere Ansätze für Ausgleichs- oder Regressionskurven: . . . . . . . . 468
Lineare Regression unter Berücksichtigung
der Messfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
Rang-Korrelation (Nicht-parametrische Korrelationen) . . . . . . . . . 471
12.5 Schließende Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
A Nützliches 478
A.1 Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
A.2 Abkürzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
A.3 Mathematische Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
A.3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
A.3.2 Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
A.3.3 logische Verknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode