Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

18 KAPITEL 1. VEKTOREN
Abbildung 1.10: Spatprodukt
als Volumen des von den Vektoren
aufgespannten Parallelepipeds
✟ ✟✟ ✟ ✟✟
⃗c
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✁ ✁✁✁✁✁
✁✟ ✁✁✁✁✁✕ ✟✟✯ ⃗ b ⃗a ✲
Definition 9 Das Spatprodukt oder gemischte Produkt der drei Vektoren ⃗a, ⃗ b, und ⃗c ist
definiert als
[⃗a ⃗ b⃗c] = (⃗a × ⃗ b) · ⃗c . (1.8)
§ 99 Das Spatprodukt ist nicht kommutativ, da es ein Kreuzprodukt enthält. Das Vertauschen
zweier Vektoren bewirkt einen Vorzeichenwechsel:
[⃗a ⃗ b⃗c] = −[⃗a⃗c ⃗ b] .
Jedoch können die Vektoren zyklisch vertauscht werden:
(⃗a × ⃗ b) · ⃗c = ( ⃗ b × ⃗c) · ⃗a = (⃗c × ⃗a) ·⃗b .
§ 100 Das Spatprodukt lässt sich ebenfalls als Determinante darstellen:
∣ [⃗a ⃗ b⃗c] = (⃗a × ⃗ a x a y a z ∣∣∣∣∣
b) · ⃗c =
b x b y b z . (1.9)
∣ c x c y c z
§ 101 Das Spatprodukt verschwindet, wenn die Vektoren ⃗a und ⃗ b × ⃗c senkrecht aufeinander
stehen. Das ist der Fall, wenn der Vektor ⃗a in der von ⃗ b und ⃗c aufgespannten Ebene liegt,
d.h. wenn die Vektoren komplanar sind:
[⃗a ⃗ b⃗c] = 0 ⇔ ⃗a, ⃗ b und ⃗c sind komplanar .
Anschaulich ist das verschwindende Spatprodukt verständlich: liegen die drei Vektoren in der
Ebene, so spannen sie keinen Raum auf und definieren daher kein Volumen.
§ 102 Mathematisch ist der Begriff komplanar (oder eher die dahinter stehende Idee) von
großer Bedeutung. Komplanar bedeutet anschaulich, dass die drei Vektoren in einer Ebene
liegen. Dann sind sie nicht linear unabhängig sondern es lässt sich einer der Vektoren als eine
Linearkombination der beiden anderen darstellen, z.B. ⃗a = λ 1
⃗ b + λ2 ⃗c für den Fall, dass ⃗ b
nicht parallel zu ⃗c ist. Da diese drei Vektoren nicht linear unabhängig sind, definieren sie nur
ein zwei-dimensionales Gebilde, eben die Ebene, in der sie liegen, sind jedoch nicht geeignet,
den dreidimensionalen Raum aufzuspannen: egal, wie sie kombiniert werden, das Ergebnis
liegt immer in der Ebene.
1.4.4 Mehrfachprodukte
§ 103 Neben dem Spatprodukt mit seiner anschaulichen Bedeutung gibt es noch andere
gemischte Produkte, zu deren Vereinfachung die folgenden Rechenregeln hilfreich sein können
(s. z.B. [7, 70]):
• doppeltes Vektorprodukt (bac-cab Regel):
⃗a × ( ⃗ b × ⃗c) = ⃗ b(⃗a · ⃗c) − ⃗c(⃗a ·⃗b) .
• Vektorprodukt aus zwei Vektorprodukten:
(⃗a × ⃗ b) × (⃗c × ⃗ d) = ⃗c((⃗a × ⃗ b) · ⃗d) − ⃗ d((⃗a × ⃗ b) · ⃗c) = ⃗ b((⃗c × ⃗ d) · ⃗a) − ⃗a((⃗c × ⃗ d) ·⃗b)
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode