Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

92 KAPITEL 3. FUNKTIONEN
Abbildung 3.7: Trigonometrische
Funktionen als Kreisschnitte (links)
sowie Verlauf der Sinus- und Kosinusfunktion
(rechts)
3.3.2 Trigonometrische Funktionen
§ 369 Während die Einführung der Exponentialfunktion auf den ersten Blick etwas unbeholfen
erscheint, lassen sich die trigonometrischen Funktionen auf Grund ihrer geometrischen
Bedeutung leichter einführen.
§ 370 Zur Herleitung betrachten wir den Schnitt eines Einheitskreises mit einer Geraden
g wie im linken Teil von Abb. 3.7 gezeigt. Die trigonometrischen Funktionen setzen den
aus dem Kreis ausgeschnittenen Bogen ϕ mit verschiedenen der fett ausgezogenen Linien in
Beziehung. 3 Der Sinus sin α ergibt sich als das Verhältnis aus Gegenkathete zu Hypothenuse,
der Kosinus cos α als Verhältnis von Ankathete zu Hypothenuse und der Tangens tan α als das
Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete bzw. Sinus zu Kosinus. Die Funktionen Kosekans,
Sekans und Kotangens sind die Kehrwerte zu Sinus, Kosinus und Tangens.
§ 371 Aus der Darstellung am Einheitskreis lässt sich der Verlauf der Winkelfunktionen
(rechter Teil von Abb. 3.7) veranschaulichen. Für ϕ = 0 hat die Gegenkathete die Länge
Null, d.h. der Sinus beginnt bei Null. Er steigt an, bis er bei π/2 den Wert 1 annimmt
und fällt dann bis π wieder auf Null ab. Der Abfall ist symmetrisch um π/2, daher gilt
sin ϕ = sin(π − ϕ). Für π < ϕ < 2π nimmt der Sinus negative Werte an, deren Beträge denen
für 0 < ϕ < π entsprechen. Daher gilt sin ϕ = − sin(π + ϕ).
§ 372 Der Kosinus ist über die Ankathete definiert, d.h. für ϕ = 0 nimmt er den Wert 1 an
und fällt mit zunehmendem ϕ ab bis er bei π/2 den Wert Null erreicht. Für π/2 < ϕ < 3π/2
ist der Kosinus negativ, für ϕ > 3π/2 wieder positiv. Der Kosinus entspricht in seinem
Verlauf einem um π/2 verschobenen Sinus, d.h. es gilt cos ϕ = sin(π/2 + ϕ). Da π/2 − ϕ der
Komplementwinkel zu ϕ ist, gilt gleichzeitig auch cos ϕ = sin(π/2 − ϕ).
§ 373 Der Verlauf des Tangens ergibt sich anschaulich aus der Länge der Tangente an den
Kreis. Für ϕ = 0 beginnt er bei Null und steigt mit zunehmendem ϕ auf ∞ bei π/2. An
dieser Stelle springt der Tangens auf −∞ und steigt mit zunehmendem ϕ auf Null bei π und
auf +∞ bei 3π/2. Das Tangens ist daher periodisch mit einer Periode π während Sinus und
Kosinus periodisch mit der Periode 2π sind.
§ 374 Wichtige Werte für die Winkelfunktionen sind in Tabelle 3.1 gegeben, die Beziehungen
zwischen den Winkelfunktionen in Tabelle 3.2.
§ 375 Als transzendente Funktionen hängen die Winkelfunktionen eng mit der Exponentialfunktion
zusammen, der Zusammenhang wird durch die Euler Formel gegeben, vgl. Abschn.
6.3.1.
3 Verwenden wir anstelle des Kreisbogens den Winkel (bei Angabe in rad identisch), so lassen sich die
Winkelfunktionen auch an dem im Kreis liegenden Dreieck veranschaulichen. Der Bezug zum Kreisbogen ist
jedoch der mathematisch korrekte Ansatz, vgl. Abschn. 3.4.2.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode