Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

8.2. RECHENTECHNIK 317
§ 1175 Der Wert einer dreireihigen Determinante ergibt sich damit zu
|A| =
∣ a 11 a 12 a 13 ∣∣∣∣∣ a 21 a 22 a 23 = a 11 A 11 − a 12 A 12 + a 13 A 13
∣ a 31 a 32 a 33
= a 11 (a 22 a 33 − a 23 a 32 ) − a 12 (a 21 a 33 − a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 a 32 − a 22 a 31 )
= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31
−a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 .
§ 1176 Aus diesen Überlegungen können wir zu einer allgemeinen Definition der Determinante
gelangen:
Definition 76 Die Determinante |A| = det A einer n-reihigen quadratischen Matrix A ist
definiert als
∑
D =
±a 1k a 2l ... a nr . (8.4)
Permutationen von k,l,...,r
§ 1177 Auch hier ist bei der Berechnung die gegebenenfalls mehrfache Entwicklung nach
Unterdeterminanten ein hilfreiches Verfahren.
§ 1178 Betrachten wir ein Beispiel. Die Determinante der Matrix
⎛
1 2 3
⎞
4
5 6 7 8 ⎟
A =
⎜
⎝
9 10 11 12
13 14 15 16
⎠
lässt sich durch Entwicklung nach Unterdeterminanten bestimmen:
det A = 1 det A 11 − 2 det A 12 + 3 det A 13 − 4 det A 14 = 0
mit den Unterdeterminanten
6 7 8
det A 11 =
10 11 12
∣ 14 15 16 ∣ = 0 , det A 5 7 8
12 =
9 11 12
∣ 13 15 16 ∣ = 0 ,
5 6 8
det A 13 =
9 10 12
∣ 13 14 16 ∣ = 0 , det A 5 6 7
14 =
9 10 11
∣ 13 14 15 ∣ = 0 .
§ 1179 Anwendungen für die Determinantenschreibweise sind Mehrfachprodukte von Vektoren,
wie Vektorprodukt, Rotation oder Spatprodukt:
∣ ∣ ∣ ⃗a × ⃗ ⃗e x ⃗e y ⃗e z ∣∣∣∣∣ b =
a x a y a z , ∇ × ⃗ ⃗e x ⃗e y ⃗e z ∣∣∣∣∣ A =
∂ x ∂ y ∂ z , [⃗a ⃗ a x a y a z ∣∣∣∣∣
b⃗c] =
b x b y b z .
∣ b x b y b z
∣ A x A y A z
∣ c x c y c z
Rechenregeln
§ 1180 Für Determinanten gelten eine Vielzahl von Rechenregeln. Diese vereinfachen die
praktische Arbeit, reflektieren jedoch keine fundamentalen mathematischen Erkenntnisse.
Die meisten der Regeln sind durch direkte Anwendung der Definition der Determinanten
einsichtig oder basieren auf der ‘nicht-Unabhängigkeit’ von Zeilen oder Spalten der Matrix.
§ 1181 Die Determinante bleibt unverändert, wenn man Zeilen und Spalten vertauscht,
det A T = det A, oder im Fall einer dreireihigen Determinante
∣ ∣ a 1 a 2 a 3 ∣∣∣∣∣ a 1 b 1 c 1 ∣∣∣∣∣ b 1 b 2 b 3 =
a 2 b 2 c 2 . (8.5)
∣ c 1 c 2 c 3
∣ a 3 b 3 c 3
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007