Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

10.3. INTEGRATION: LINIEN- UND OBERFLÄCHENINTEGRAL 385
§ 1444 Und wie sieht es bei einem Weg auf einer Kugel aus? Dieser Weg kann entweder
entlang eines Großkreises erfolgen oder eben nicht. Ein Großkreis ist jede Kreisbahn, deren
Ebene den Erdmittelpunkt enthält. Der Äquator ist ein Beispiel für einen großkreis, ebenso
sind alle Längenkreise Beispiele für Großkreise. Auch andere Orientierungen der entsprechenden
Bahnebene sind möglich, allerdings handelt es sich in jedem Fall um irgendwelche
Drehungen der Äquatorebene um einen durch den Erdmittelpunkt gehende Achse. Damit
können wir den Weg entlang der entsprechenden Bahn auf das Problem der Bestimmung eines
Weges entlang einer Kreisbahn mit gleichem radius reduzieren. Anders sieht es bei einem
Weg aus, der nicht einem Großkreis folgt. Diesen können wir aber immer so drehen, dass er
einem Breitenkreis folgt. Dann wird der Weg wieder entsprechend dem in § 1443 dargestellt,
allerdings ist der Radius in diesem Fall nicht der Kugelradius R sondern der Radius R sin ϑ
der Kugel bei der entsprechenden Breite ϑ.
Tangenten- und Normalenvektoren
§ 1445 Bei der Parametrisierung haben wir die Ableitung ˙⃗r(t) des Ortsvektors ⃗r(t) verwendet.
Diese Größe weist tangential entlang der Kurve; mit der Zeit t als Parameter entspricht
sie der Geschwindigkeit ⃗v und diese ist tangential zur Bahnkurve. Mit Hilfe von ˙⃗r(t) kann
jedem Punkt der Kurve ein Tangenteneinheitsvektor ⃗e t zugeordnet werden mit
⃗e t =
˙⃗r
|˙⃗r| .
§ 1446 Die Änderung dieses Tangenteneinheitsvektors (oder anschaulich die Änderung der
Richtung der Geschwindigkeit) gibt einen Vektor, der senkrecht auf der Bahnkurve steht (oder
anschaulich: die für die Änderung der Bewegungsrichtung ⃗v verantwortliche Beschleunigung
steht senkrecht auf ⃗v). Dieser Hauptnormaleneinheitsvektor
⃗e n =
⃗e ˙ t
| ⃗e ˙ t | ,
weist in Richtung der Kurvenkrümmung.
Verständnisfrage 27 Für beide Vektoren der Quotient aus Ableitung und Betrag der Ableitung
gebildet. Warum ist dieser in einem Fall parallel, im anderen senkrecht zur Kurve?
§ 1447 Insbesondere in der theoretischen Mechanik erfreuen sich diese beiden Vektoren einer
gewissen Beliebtheit: mit ⃗e t und ⃗e n können wir eine Beschleunigung in einen Tangential- und
einen Normalanteil zerlegen. Es ist ds das Bogenelelement entlang der Kurve und damit
|d⃗r| = ds. Für die Geschwindigkeit gilt (Kettenregel)
⃗v = d⃗r
dt = d⃗r ds
ds dt = ⃗e t v
mit ⃗t = d⃗r/ds als dem Tangenteneinheitsvektor. Die Beschleunigung ergibt sich durch nochmaliges
Ableiten zu
⃗a = d⃗v
dt = dv
dt ⃗e t + v d⃗e t
dt = a t⃗e t + d⃗e t
ds
ds
dt v = a t⃗e t + v 2 d⃗e t
ds ; .
Mit der Kurvenkrümmung κ und dem Krümmungsradius ϱ gemäß
√ (d2 )
√
2 (d2 ) 2 ( ) 2 ( ) 2
⃗r
x d2 y d2 x
κ =
ds 2 =
ds 2 +
ds 2 +
ds 2 = 1 ∣ ∣∣∣
ϱ = d⃗e t
ds ∣
ergibt sich für die Beschleunigung als Summe aus Tangentialbeschleunigung a t und Normalbeschleunigung
v 2 /ϱ
⃗a = a t ⃗e t + v2
ϱ ⃗e n .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007