Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

2.5. MATHEMATISCHE ERGÄNZUNGEN 69
Satz 8 Induktionsprinzip: Ist M eine Teilmenge von N mit den Eigenschaften (1) k ∈ M
und (2) ∀n > k ∈ N : n ∈ M ⇒ (n + 1) ∈ M, so ist M die Menge aller natürlichen Zahlen
größer gleich k.
2.5.2 Direkter Beweis
§ 277 Der direkte Beweis geht von einem bewiesenen Satz oder einer Definition als Voraussetzung
aus und leitet daraus die Wahrheit der zu beweisenden Behauptung ab.
§ 278 Als erstes Beispiel beweisen wir die Behauptung ‘Das Quadrat jeder geraden natürlichen
Zahl n ist gerade.’ Dazu sind die folgenden logischen Schlussfolgerungen ausreichend: Sei n
eine gerade natürliche Zahl. Dann lässt sich n darstellen als n = 2k mit k ∈ N. Also gilt für
das Quadrat:
n 2 = (2k) 2 = 2 2 k 2 = 2(2k 2 ) ,
d.h. n 2 ist das Doppelte der natürlichen Zahl 2k 2 und damit eine gerade Zahl.
§ 279 Als nächstes Beispiel zeigen wir, dass für eine endliche geometrische Folge gilt
1 + q + q 2 + . . . + q n < 1
1 − q
0 < q < 1 .
Multiplikation mit (1 − q) erhält das Ungleichheitszeichen da 1 − q > 0 und ergibt
1 − q + q − q 2 + q 2 − q 3 + . . . + q n − q n+1 < 1 .
Die Terme auf der linken Seite lassen sich zusammen fassen und wir erhalten
1 − q n+1 < 1 .
Diese Aussage ist wahr, da q n+1 < 1 wegen q < 1. Da alle verwendeten Rechenoperationen
eindeutig umkehrbar sind, muss also auch die Ausgangsaussage wahr sein.
2.5.3 Indirekter Beweis (Beweis durch Widerspruch)
§ 280 Beim indirekten Beweis wird nicht die Behauptung betrachtet sondern ihre Negation.
Aus dieser Negation schließt man auf eine falsche Aussage bzw. einen Widerspruch. Wenn
die negierte Behauptung zu solchen sinnlosen Resultaten führt, muss umgekehrt die Originalbehauptung
wahr sein.
§ 281 Der wichtigste Punkt in diesem Verfahren ist die korrekte Aufstellung der negierten
Behauptung. So ist die Negation der Behauptung ‘alle Hunde bellen’ keinesfalls ‘kein Hund
bellt’ sondern nur ‘nicht alle Hunde bellen’ bzw. ‘es gibt Hunde, die nicht bellen’. Beim indirekten
Beweis nimmt man diese Herausforderung an, und arbeitet mit der Hypothese, man
habe gerade einen nicht bellenden Hund zur Hand so lange weiter, bis sich ein Widerspruch
ergibt. Ist das der Fall, so ist die negierte Aussage falsch und damit die ursprüngliche Aussage
wahr. Wird bei der Negation ein Fehler gemacht, so kann man zwar zeigen, dass die sich
dabei ergebende Aussage zu einem Widerspruch führt aber keine Schlüsse mehr im Bezug auf
die ursprüngliche Aussage treffen, da diese ja in keinem sinnvollen Verhältnis zur negierten
steht.
§ 282 Betrachten wir ein Beispiel. Die Behauptung B ‘es gibt unendlich viele Primzahlen’
ist durch Widerspruch zu beweisen. Die Negation dieser Behauptung ist einfach: wenn es
nicht unendlich viele Primzahlen gibt, dann gibt es nur endlich viele, d.h. B lautet ‘es gibt
nur endlich viele Primzahlen’. Diese endlich vielen Primzahlen lassen sich in einer Liste von
p 1 = 2 über p 2 = 3, p 3 = 5 bis p k zusammenfassen. Das Produkt P = ∏ k
l=1 p l ist dann durch
jede Primzahl teilbar. Dann ist allerdings P + 1 durch keine der Primzahlen teilbar – und
damit selbst eine Primzahl obwohl sie nicht in unserer Liste der Primzahlen enthalten ist.
Unsere endliche Liste enthält also nicht alle Primzahlen, d.h. wir haben einen Widerspruch
zur Annahme B. Damit ist B falsch und B wahr.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007