Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.2. ÜBERSICHT 233
Integrationskonstanten und Anfangsbedingungen
§ 901 Integrationskonstanten sind vom unbestimmten Integral bekannt. Ist bei der Integration
ein Punkt bekannt, durch den die Funktion verläuft, so lässt sich die Integrationskonstante
eindeutig bestimmen. Entsprechendes gilt bei einer Differentialgleichung. Aus der allgemeinen
Lösung der DGL kann eine spezielle oder partikuläre Lösung bestimmt werden durch
Berücksichtigung der Anfangs- oder Randbedingungen. Da für jede der Integrationskonstanten
eine eigene Anfangs- oder Randbedingung benötigt wird, müssen zur Bestimmung einer
partikulären Lösung einer gewöhnlichen DGL n ter Ordnung n Anfangs- oder Randbedingungen
gegeben sein. So ist die allgemeine Lösung der Zerfallsgleichung N(t) = c e −λt mit c als
der Integrationskonstanten. Ist für die Zeit t 0 die Zahl N 0 der Atome bekannt, o lässt sich
die Integrationskonstante c aus dieser Anfangsbedingung N(t 0 ) = N 0 eindeutig bestimmen
und wir erhalten die für diese Anfangsbedingungen spezielle Lösung der DGL.
§ 902 Bei einem Anfangswertproblem bzw. einer Anfangswertaufgabe werden der Lösungsfunktion
x = x(t) insgesamt n-Werte, nämlich der Funktionswert sowie die Werte der n − 1
Ableitungen an einer Stelle t 0 vorgeschrieben: x(t 0 ), ẋ(t 0 ), ẍ(t 0 ), ..., x (n−1) (t 0 ). Anschaulich
geben diese Anfangswertbedingungen bei einer Differentialgleichung erster Ordnung einen
Punkt (t 0 , x(t 0 )), durch den die Kurve verläuft, bzw. bei einer DGL zweiter Ordnung einen
Punkt und die Steigung in diesem Punkt. Anfangsbedingungen beschreiben einen speziellen
Zustand des Systems; mit der DGL werden die Regeln zur Beschreibung der weiteren
Entwicklung des Systems vorgegeben.
§ 903 Bei einem Randwertproblem bzw. einer Randwertaufgabe werden der gesuchten speziellen
Lösung y(x) einer Differentialgleichung n ter Ordnung an n verschiedenen Stellen x 1 ,
x 2 , ..., x n die Funktionswerte y(x 1 ), y(x 2 ), ..., y(x n ) vorgeschrieben. Sie werden als Randwerte
oder Randbedingungen bezeichnet. Physikalische Beispiele sind ein an einem Ende
eingespannter Stab oder die Auflagepunkte einer Brücke auf ihren Trägern. In diesen Kapiteln
werden wir es mit Anfangsbedingungen zu tun haben, Randbedingungen werden uns im
Zusammenhang mit partiellen Differentialgleichungen in Kap. 11 begegnen.
7.2.2 Ordnung im Zoo
§ 904 Differentialgleichungen werden nicht nur nach ihrer Ordnung klassifiziert sondern auch
nach weiteren Gesichtspunkten. Da es für verschiedenen Tyten von DGLs unterschiedliche
Lösungsverfahren gibt, muss eine DGL vor einem Lösungsversuch genau klassifiziert werden.
Dazu stellen Sie die folgenden Fragen an die DGL:
• handelt es sich um eine lineare DGL oder nicht? Für letzteren Fall werden Sie mit diesem
Skript nicht weiter kommen, aber für lineare DGLs sollten Sie hier zumindest für den
Anfang ein hinreichendes Rüstzeug finden.
• sind die Koeffizienten der DGL konstant oder sind es Funktionen der unabhängigen Variablen?
Für konstante Koeffizienten sind die Lösungsverfahren einfach (Separation der
Variablen oder Exponentialansatz); für nicht konstante Koeffizienten werdenwir Lösungen
nur für wenige Spezialfälle betrachten.
• handelt es sich um eine gewöhnliche oder eine partielle DGL? Für gewöhnliche DGLs ist
dieses Kapitel zuständig, für partielle dagegen Kap. 11.
• welche Ordnung hat die DGL? Diese richtet sich nach der höchsten auftretenden Ableitung.
DGLs erster Ordnung werden in Abschn. 7.3 behandelt, DGLs zweiter Ordnung in
Abschn. 7.4. Höhere Ordnungen werden nicht behandelt – allerdings treten diese in den
ersten Semestern in einer Physik-Vorlesung normalerweise nicht auf.
• handelt es sich um eine homogene oder um eine inhomogene DGL? In jedem Fall ist die
homogene DGL zu lösen; handelt es sich um eine inhomogene DGL, so ist zusätzlich eine
spezielle Lösung für den inhomogenen Teil zu finden (Abschn. 7.3.2 und 7.5.3).
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007