Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

262 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Zwischenrechnung 39 Auf den ersten Blick erscheint es überraschend, dass die ‘rundlichen’
Funktionen Sinus und Kosinus bei geeigneter Kombination ‘eckige’ Funktionen wie
Sägezahn oder Rechteck erzeugen können. Verwenden Sie MatLab (oder eine andere Darstellungsmöglichkeit)
um sich die verschiedenen Glieder der Folge und entsprechend das Wachsen
der Fourier Reihe für immer mehr Terme anzusehen.
§ 993 Zwischen der Fourier Reihe und den Fourier Koeffizienten einerseits und der Projektion
eines Vektors auf eine bestimmte Zahl von Basisvektoren (siehe Abschn. 8.4.2) besteht
ein enger Zusammenhang: die Terme der Fourier Reihe spannen einen Vektorraum auf, die
Koeffizienten der sin(nx) und cos(nx) Terme entsprechen den Komponenten des Vektors.
§ 994 Betrachten wir dazu eine gerade Funktion, d.h. die a n verschwinden und die Fourier
Reihe wird
f(x) = a ∞
0
2 + ∑ ( nπx
)
b n sin . (7.35)
L
n=1
In Anlehnung an die Basisvektoren in (8.15) können wir Basisfunktionen definieren als
u n (x) = √ 1 ( nπx
)
sin .
L L
Wie für die Basisvektoren lässt sich für Basisfunktionen ein inneres Produkt oder Skalarprodukt
zweier Funktionen f und g definieren als
f · g =
∫ L
−L
f(x)g(x) dx .
Entsprechend den Regeln für orthonormale Basisvektoren sollen die Skalarprodukte der Basisfunktionen
ebenfalls mit Hilfe des Kronecker Symbols dargestellt werden können:
{ 0 für n ≠ m
(u n · u m ) = δ nm =
1 für n = m . (7.36)
Dann sind die Basisfunktionen normiert und wechselseitig orthogonal. Sie können daher als
die Verallgemeinerungen von orthogonalen Einheitsvektoren in einen Funktionenraum betrachtet
werden. Damit lässt sich eine ungerade Funktion f(x) als eine Summe von Basisfunktionen
u n (x) schreiben:
∞∑
f(x) = c n u n (x) . (7.37)
n=1
Der Koeffizient c n entspricht der Projektion von f(x) auf die Basisfunktion, c n = (u n ·
f). Diese Projektion erfolgt mit Hilfe des Skalarprodukts, wie wir es auch in § 116 für die
Projektion eines Vektors auf die Einheitsvektoren eines kartesischen Koordinatensystems
verwendet haben. Mit dieser Projektion kann (7.37) auch geschrieben werden als
∞∑
f(x) = (u n · f)u n (x) . (7.38)
n=1
§ 995 Die Rekonstruktion der Funktion f(x) erfordert also, dass man über ihre Projektionen
(u n · f)u n (x) auf alle Basisfunktionen u n (x) summiert. Ebenso wie bei den Vektoren eine
Projektion in Unterräume vorgenommen werden kann, kann man die Fourier Reihe ebenfalls
über einen beschränkten Satz von Basisfunktionen summieren
f(x) gefiltert =
∑n 2
n 1
(u n · f)u n (x) .
Diese Art von Projektion wird als gefiltert bezeichnet, da es sich dabei um eine Filterung,
eben eine Beschränkung auf bestimmte Basen, handelt. Diese Eigenschaft mach die Fourier
Transformationen so nützlich, so sind sie die Grundlage für viele digitale Filtertechniken.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode