Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

10.3. INTEGRATION: LINIEN- UND OBERFLÄCHENINTEGRAL 383
10.3 Integration: Linien- und Oberflächenintegral
§ 1433 Wir haben uns in Abschn. 5.4.1 bei der Integration vektorwertiger Funktionen auf
Funktion in Abhängigkeit von einem Skalar beschränkt; lediglich in Abschn. 5.4.2 haben wir
das Linien- oder Wegintegral kurz in einer Form betrachtet, die es erlaubt, die bei der Verschiebung
in einem Kraftfeld geleistete Arbeit zu bestimmen. Die Grundzüge des Verfahrens
sind daher bekannt: der Weg ist geeignet zu parametrisieren, so dass sich das Wegelement
d⃗s(t) darstellen lässt als ein Produkt aus einer Richtung, gegeben durch die Tangente ˙⃗s an die
Kurve, und einem Betrag dt. Auf diese Weise lässt sich das Linienintegral in ein gewöhnliches
Integral überführen.
§ 1434 Wenn wir Quellen und Senken eines elektrischen Feldes betrachten, so können als
lokale Größe die Divergenz verwenden; alternativ können wir ein Volumenelement heraus
greifen und den Fluss des Feldes durch die Oberfläche des Volumens bestimmen. Auf diese
Weise bilden wir ein (Ober-)Flächenintegral. Dessen Behandlung erfolgt ähnlich wie die des
Linienintegrals: die Integration über das Flächenelement d ⃗ S wird wieder auf eine gewöhnliche
Integration reduziert, in dem das Flächenelement durch eine Richtung, gegeben durch den
Normaleneinheitsvektor ⃗n, und einen Betrag dS ausgedrückt wird. Für das dS werden in der
Physik in der Regel die bereits bekannten Flächenelemente in den verschiedenen Koordinatensystemen
verwendet.
10.3.1 Parametrisierung von Linien und Flächen
§ 1435 Um entlang einer Kurve oder Fläche integrieren zu können, benötigen wir eine Darstellungsform
für Kurven und Flächen, die es erlaubt, die Integration mit den aus Kap. ??
bekannten Verfahren durchzuführen. Die Bewegung einer Raupe entlang eines Grashalms
ist zwar eine Bewegung im dreidimensionalen Raum; der Ort der Raupe lässt sich jedoch
durch einen einzigen Parameter, z.B. den Abstand von der Spitze des Grashalms, eindeutig
beschreiben – das ist eine Kurve in Parameterdarstellung. Oder eher technisch: denken Sie
in der Einheit von Autobahnkilometern.
Darstellung ebener und räumlicher Kurven
§ 1436 Die Parameterdarstellung einer Kurve erfolgt durch einen Ortsvektor ⃗r in Abhängigkeit
von einem Parameter t. auch wenn die Verwendung des Buchstaben t suggestiv ist und die
Zeit anschaulich ein geeigneter Parameter wäre: der Parameter kann die Zeit sein, muss aber
nicht.
§ 1437 Der Ortsvektor einer Raumkurve lässt sich dann schreiben als
⃗r(t) = x(t)⃗e x + y(t)⃗e y + z(t)⃗e z ,
mit t als einem Parameter, der einen Bereich t 1 ≤ t ≤ t 2 durchläuft.
§ 1438 Eine derartige Parameterdarstellung ist nur für glatte Raumkurven möglich, wobei
glatt nicht mit eben verwechselt werden sollte sondern definiert ist als
Definition 87 Eine Raumkurve wird als glatt bezeichnet, wenn es mindestens eine stetig
differenzierbare Parameterdarstellung ⃗r = ⃗r(t) gibt, für die an keiner Stelle d⃗r/dt verschwindet.
Für typische physikalische Probleme lässt sich eine derartige Darstellung in der Regel realisieren.
§ 1439 Die Wurfparabel lässt sich, wie bereits in § 333 angesprochen, darstellen als
(
)
(v
⃗r(t) =
0 cos α)t
(v 0 sin α)t − 1 2 gt2
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007