Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

3.4. MATHEMATISCHE ERGÄNZUNG 99
Abbildung 3.12: Die Reihenentwicklung
für π konvergiert nur recht
langsam
π als Reihe
§ 397 Das den Winkel definierende Integral liefert gleichzeitig eine analytische Darstellung
für π. Für m = 1 ist der Winkel gerade π/4, d.h. es ist
∫1
π
4 = du
1 + u 2 .
0
Zur Integration können wir den Integranden in eine Potenzreihe entwickeln, wieder mit Hilfe
der binomischen Reihe (2.11):
π
4 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 ∞
9 − . . . = ∑
n=1
(−1) n+1
2n − 1 .
Diese Reihenentwicklung ist zwar elegant, ihre praktische Anwendung ist begrenzt, da die
Reihe nur sehr langsam konvergiert, siehe Abb. 3.12.
Winkelfunktionen
§ 398 Nachdem wir den Winkel definiert haben, drängt sich die Betrachtung des Tangens
als der ersten der Winkelfunktionen auf. Aus Abb. 3.7 ist der Tangens anschaulich als die
Tangente an den Einheitskreis bekannt. In Abhängigkeit von m nimmt er alle Werte von −∞
bis +∞ an, ist stetig in (−∞, +∞) und ist streng monoton. Der über das Integral definiert
Winkel ϕ ist ebenfalls stetig und streng monoton und akzeptiert als Argumente genau den
Wertbereich des Tangens.
§ 399 Auf Grund der Stetigkeit und der strengen Monotonie gibt es zur Funktion ϕ(x) eine
Umkehrfunktion. Diese nennen wir Tangens tan(ϕ):
Definition 34 Ist der Winkel definiert über
ϕ(m) =
∫ m
0
du
1 + u 2 , (3.6)
so lässt sich die Funktion Tangens definieren als dessen Umkehrfunktion mit
tan(ϕ(x)) = x ∀x ∈ R .
Auf Grund dieser Definition kann der Tangens als Argument nur reelle Werte zwischen −π/2
und π/2 als Argument annehmen.
§ 400 Sinus und Kosinus lassen sich aus dieser Definition ableiten. Elementare Geometrie
und Abb. 3.7 zeigt, dass diese beiden Funktionen die folgenden Beziehungen erfüllen:
sin(ϕ(x))
cos(ϕ(x)) = tan(ϕ(x)) = x und sin2 (ϕ(x)) + cos 2 (ϕ(x)) = 1 .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007