Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

4.6. DIFFERENTIALRECHNUNG IN MATLAB 157
§ 620 Die Funktion kann natürlich vorher definiert und dann aus fzero aufgerufen werden:
>> fun=’x*x-1’;lims=[-1.1 0.9];fzero(fun,lims) ←↪
Ein derartiges Verfahren kann z.B. dann sinnvoll sein, wenn man nacheinander mehrere Funktion
oder nacheinander mehrere Intervalle bei einer Funktion auf Nullstellen untersuchen
möchte und die verschiedenen Werte von fun bzw. lims mit Hilfe einer Schleife nacheinander
in fzero füttert.
§ 621 Fazit zur Verwendung von fzero: seien Sie vorsichtig bei Verwendung von fzero. Die
gefundenen Nullstellen sind echte Nullstellen der Funktion. Aber fzero findet nicht immer
alle Nullstellen: findet kein Vorzeichenwechsel statt, so funktioniert das Suchprinzip nicht. Ist
nur eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel vorhanden, so ist fzero hilflos. Bei einer geraden
Zahl von Nullstellen mit Vorzeichenwechsel müssen die Intervalle so gewählt werden, dass in
jedem zu testenden Intervall ein Vorzeichenwechsel stattfindet – liegen beide Nullstellen im
Suchintervall, so hat fzero wieder das problem des fehlenden Vorzeichenwechsels. Bei einer
ungeraden Zahl von Nullstellen mit Vorzeichenwechsel im Testinzervall findet fzero eine der
Nullstellen – verrät Ihnen aber nicht, ob es noch andere gibt.
4.6.2 Numerische Differentiation
§ 622 Die Ableitung einer Funktion ist definiert als der Quotient aus der Differenz der Funktionswerte
an zwei um ∆x aus einander liegenden Stellen dividiert durch ∆x für den Grenzwert
∆x → 0:
f ′ f(x) + f(x + ∆x)
(x) = lim
.
∆x→0 ∆x
§ 623 Numerische Differentiation verwendet den gleichen Quotienten, jedoch ohne den Grenzübergang
∆x → 0. Für die praktische Durchführung des numerischen Verfahrens gibt es
verschiedene Möglichkeiten:
• Die Vorwärts-Differenz (forward finite difference) δf + (x) ist der eigentlichen Definition der
Ableitung am ähnlichsten:
δf + (x o ) = f(x o + ∆x) − f(x o )
∆x
.
In ihrer Genauigkeit ist diese Differenz von erster Ordnung: 5 die Genauigkeit hängt von
der zweiten Ableitung der Funktion ab, d.h. von der ersten Ableitung der gesuchten Ableitung.
Für stark veränderliche Funktionen ist diese aber relativ groß, so dass die Vorwärts-
Differenz in der Nähe starker Veränderungen ungenau wird.
• Die Rückwärts-Differenz (backward finite difference) δf − (x) ist auf ähnliche Weise definiert
δf − (x o ) = f(x o) − f(x o − ∆x)
∆x
und ebenfalls von einer Genauigkeit erster Ordnung.
• Die zentrale Differenz (centered finite difference) δf(x) ist definiert als
δf(x o ) = f(x o + ∆x) − f(x o − ∆x)
.
2∆x
Sie hat eine Genauigkeit von zweiter Ordnung und ist daher wesentlich robuster als die
beiden anderen Differenzen-Verfahren.
§ 624 Ein einfaches Verfahren zur numerischen Differentiation verwendet die MatLab-
Funktion diff, die aus einem n-elementigen Vektor einen (n-1)-elementigen Vektor erzeugt,
diff
5 Die Ordnung eines numerischen Verfahrens lässt sich mit Hilfe einer Taylor-Entwicklung bestimmen.
Da das numerische Differenzieren hier nicht sehr ernst gemeint ist, wird das Verfahren zur Bestimmung der
Ordnung einer numerischen Methode erst im Zusammenhang mit der numerischen Lösung von Differentialgleichungen
in Abschn. 7.9 erläutert.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007