Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

8.2. RECHENTECHNIK 309
Vektoren und Vektorräumen schon einmal begegnet: Geraden als die Grundgrößen geometrischer
Konstruktionen lassen sich durch eine lineare Gleichung darstellen; Vektoren sind die
Grundbausteine einer Geraden. In Abschn. 1.6.5 haben wir ferner gesehen, dass sich die wesentlichen
Konzepte eines Vektorraums wie Linearität, Basen und das Superpositionsprinzip
auch auf nicht vektorielle Größen übertragen lassen, u.a. auf Differentialgleichungen. Daher
lassen sich nicht nur Systeme linearer Gleichungen sondern auch Systeme gekoppelter
Differentialgleichungen mit Hilfe von Matrizen lösen.
§ 1143 Was beschreibt ein System gekoppelter Differentialgleichungen? Wo in der Physik
ergibt sich ein solches? Als einfache Beispiele für Differentialgleichungen haben wir in Kap. 7
den radioaktiven Zerfall und das Federpendel hinreichend strapaziert. Die Differentialgleichung
beschreibt dabei jeweils die Entwicklung des Systems. Beide Beispiele bieten aber
auch ein geeignetes Umfeld für Systeme gekoppelter Differentialgleichungen.
§ 1144 Wenn eine DGL die Entwicklung des Systems beschreibt, dann können zwei DGLs
die Entwicklung zweier Systeme beschreiben. So lässt sich die Bewegung von zwei Federpendeln
durch die DGLs ẍ 1 + ω 2 1x 1 = 0 und ẍ 2 + ω 2 2x 2 = 0 beschrieben. Mathematisch
handelt es sich dabei um zwei voneinander unabhängige Differentialgleichungen, die jeweils
einzeln gelöst werden können: die Bewegung des einen Federpendels beeinflusst die des anderen
nicht. Verbinden wir beide Pendel durch eine weitere Feder oder einen Faden. Physikalisch
ist dann einsichtig, dass die Bewegung des einen Pendels die des anderen beeinflusst: Pendel
1 übt eine, während der Bewegung veränderliche, Kraft auf Pendel 2 aus und umgekehrt.
Dadurch ergibt sich in den Bewegungsgleichungen ein zusätzlicher Term f(x 1 , x 2 , K), der
von den Positionen x 1 und x 2 der beiden Massen abhängt sowie von einer Kopplungskonstanten
K. Die beiden Bewegungsgleichungen sind dann ẍ 1 + ω 2 1x 1 + f(x 1 , x 2 , K) = 0 und
ẍ 2 + ω 2 2x 2 − f(x 1 , x 2 , K) = 0. Diese Gleichungen sind nicht unabhängig von einander: die
DGL für x 1 enthält auf Grund des Kopplungsterms die Koordinaten x 2 und umgekehrt. Daher
können die DGLs nicht mehr unabhängig von einander gelöst werden sondern müssen
wie die Gleichungen eines konventionellen linearen Gleichungssystems gemeinsam gleichzeitig
werden.
§ 1145 Betrachten wir als zweites Beispiel eine radioaktive Substanz, die nicht in ein stabiles
Isotop zerfällt sondern Bestandteil einer Zerfallskette ist: das beim Zerfall entstehende
Tochterisotop zerfällt weiter. Wenn es für das Ausgangsisotop keine weiteren Quellen gibt,
so lässt sich dessen Zerfall durch die normale Zerfallsgleichung beschreiben. Auch der Zerfall
des Tochterisotops wird durch eine Zerfallsgleichung mit entsprechender Zerfallskonstante
beschrieben. Jedoch muss in dieser Gleichung zusätzlich eine Quelle berücksichtigt werden,
nämlich die Erzeugung des Tochterisotops durch den Zerfall des Ausgangsisotops:
Ṅ 1 = −λ 1 N 1 und Ṅ 2 = −λ 2 N 2 + λ 1 N 1 .
Der zweite Summand der zweiten Gleichung beschreibt diese Kopplung mathematisch.
§ 1146 Ein System derartiger gekoppelter linearer Gleichungen lässt sich genauso lösen, wie
ein konventionelles Gleichungssystem. Dazu überführen wir es in Matrixschreibweise
( ) ( ) ( )
˙
˙⃗N = AN
⃗ N
oder
1 −λ1 0 N1
N ˙ =
.
2 −λ 2 N 2
λ 1
Da Eigenwerte auch bei der Konstruktion einer inversen Matrix eine große Rolle spielen, ist
auch die Lösung eines derartigen Systems gekoppelter Differentialgleichungen ein Eigenwertproblem.
8.2 Rechentechnik
§ 1147 Bevor wir in die technischen Aspekte des Rechnens mit Matrizen einsteigen, müssen
wir uns auf einige Grundbegriffe verständigen.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007