Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

226 KAPITEL 6. KOMPLEXE ZAHLEN
Mathematische Probleme
Aufgabe 105 Leiten Sie aus der Formel von Moivre und unter Verwendung der binomischen
Formel die folgenden trigonometrischen Beziehungen her:
sin(3ϕ) = 3 sin ϕ − 4 sin 3 ϕ und cos(3ϕ) = 4 cos 3 ϕ − 3 cos ϕ .
Aufgabe 106 Leiten Sie die folgenden Beziehungen (für α > 0) her:
∫ ∞
0
e −αt sin t dt = 1
α 2 + 1
und
∫ ∞
0
e −αt cos t dt =
α
α 2 + 1 .
Aufgabe 107 Zeigen Sie, dass für m ≠ n die folgenden Beziehung erfüllt ist:
∫2π
∫2π
∫2π
sin(nx) sin(mx) dx= cos(nx) cos(mx) dx= sin(nx) cos(mx) dx=0 .
0
0
Diese etwas ungewöhnlichen Integrale stehen in direktem Bezug zu den in § 994 erwähnten
Basisfunktionen bei der Fouriertransformation stehen.
Aufgabe 108 Beweisen Sie die Additionstheoreme cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β und
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β.
0
Aufgabe 109 Zeigen Sie die Gültigkeit der allgemeinen Integrationsformel
∫
sin n (ax) cos m (ax) = − sinn−a (ax) cos m+1 (ax)
+ n − 1 ∫
sin n−2 (ax) cos m (ax) dx (n, m > 0)
a(n + m) n + m
= sinn+1 (ax) cos m−1 (ax)
+ m − 1 ∫
sin n (ax) cos m−2 (ax) dx (n, m > 0) .
a(n + m) n + m
In der oberen Form wird die Potenz des Sinus erniedrigt, in der unteren die des Kosinus. In
beiden Fällen zeigt die Existenz des Restintegrals, dass die Integrationsformel gegebenenfalls
mehrfach angewandt werden muss.
Aufgabe 110 ¬S Überprüfen Sie, ob die Menge {0,1} eine Gruppe bezüglich Addition oder
Multiplkation bildet. Falls das der Fall ist, ist die Gruppe abelsch oder nicht?
Aufgabe 111 ¬S In jeder Gruppe existiert ein eindeutiges neutrales Element. Beweisen Sie
diese Aussage durch Widerspruch.
Aufgabe 112 ¬S Sei cj = f j (t) für 1 ≤ t ≤ 6 mit
f 1 (t) = t , f 2 (t) = 1 t , f 3(t) = 1 − t , f 4 (t) = 1
1 − t , f 5(t) = t − 1 , f 6 (t) = t
t
t − 1
sowie c i c j = f j (f i (t)). Überprüfen Sie, ob es sich hierbei um eine Gruppe handelt.
Aufgabe 113 ¬S Seien a und b Elemente einer Gruppe. Zeigen Sie, dass das Inverse von ab
gegeben ist durch b −1 a −1 : das Inverse von ‘zieh die Socken an, zieh die Schuhe an’ ist ’zieh
die Schuhe aus, zieh die Socken aus’.
Aufgabe 114 ¬S Betrachten Sie die Menge V = {e, a, b, c} mit
ea = ae = a , eb = be = b , ec = ce = c
e 2 = e , a 2 = b 2 = e , ab = ba = c .
Zeigen Sie dass es sich hierbei um eine abelsche Gruppe handelt. Stellen Sie die Multiplikationstabelle
für dieser Klein 4-Gruppe auf.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode