Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

60 KAPITEL 2. FOLGEN UND REIHEN
§ 244 Für die obige Abschätzung des Grenzwerts der alternierend harmonischen Reihe haben
wir die Terme in der Summe geschickt zusammen gefasst. Alternativ zu den beiden
oben gegebenen Summen hätte man auch versuchen können, positive und negative Terme
zusammen zu fassen:
S = ( 1 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + . . .) − ( 1
2 + 1 4 + 1 6 + . . .)
= ( 1 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + . . .) (
− 1 2 1 +
1
( 2 + 1 3 . . .)
= 1 2 1 −
1
2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − 1 6 + 1 7 + . . .)
= 1 2 S
und damit S = 0 im scheinbaren Widerspruch zu dem oben abgeschätzten Ausdruck 1 2 < S <
1. Das Problem wird durch die Klammern in der zweiten Reihe verursacht: beide gehen gegen
∞, d.h. in der Zeile steht der nicht definierte Ausdruck S = ∞ − 1 2∞ =?. Das Umsortieren
der Terme in einer Reihe ist nur dann möglich, wenn eine derartige interne Unendlichkeit
nicht auftreten kann. Nur im Falle von absoluter Konvergenz, d.h. wenn nicht nur ∑ a n sondern
auch ∑ |a n | konvergiert, kann die unendlich große Zahl von Termen beliebig umsortiert
werden, ohne dass sich die Summe und damit der Grenzwert ändert. Das ist aber für die alternierend
harmonische Reihe nicht der Fall, da der Betrag der Folgeglieder die harmonische
Reihe ist und diese nicht konvergiert.
2.3.2 Tests für Konvergenz
§ 245 Die Beispiele zeigen, dass für eine Reihe der Konvergenztest schwieriger ist als für
eine Folge. Daher gibt es verschiedene Verfahren, in denen durch Vergleich mit einer Reihe
mit bekannten Konvergenzeigenschaften überprüft wird, ob eine gegebene Reihe konvergiert
oder nicht. Damit wird zwar nicht unbedingt der Grenzwert der Reihe bestimmt, für viele
Anwendungen ist aber nur wichtig, ob die Reihe konvergiert oder nicht.
Vergleichstest
§ 246 Der Vergleichstest ist einfach und intuitiv plausibel. Gegeben sind zwei Folgen (a n )
und (b n ) mit 0 ≤ a n ≤ b n für alle n. Konvergiert die Reihe ∑ b n , so konvergiert auch die
Reihe ∑ a n . Ist dagegen ∑ a n divergent, so ist es auch ∑ b n .
§ 247 Als Beispiel betrachten wir die Reihe
N∑
n=2
N
1
n(n − 1) = ∑
( 1
n − 1 − 1 )
= 1 − 1 n N .
n=2
Diese konvergiert, da der Restterm 1 N
gegen Null geht für N → ∞. Für jedes n > 1 gilt
0 < 1
n α < 1
n(n − 1)
∀ α ≥ 2 .
Also konvergieren auch alle Reihen der Form ∑ 1
n α :
∞∑
n=1
1
n α konvergiert falls α ≥ 2 ∧ n > 1 .
Da wir umgekehrt bereits wissen, dass die harmonische Reihe divergiert, können wir folgern
∞∑
n=1
1
n α ist divergent falls α < 2 .
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode