Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

466 KAPITEL 12. STATISTIK
Nach Division durch u 2 = x 2 y 2 ergibt sich
( σu
) 2 ( σx
) ( ) 2 2 σy
= + ,
u x y
d.h. die relativen Fehler in x und y werden quadratisch addiert, um den relativen Fehler in
u zu erhalten.
§ 1751 Zur Bestimmung eines Widerstands R wurden die angelegte Spannung U = (3 ±
0.03) V und der Strom I = (25 ± 0.5) mA gemessen, d.h. es ist der Quotient R = U/I zweier
fehlerbehafteter Größen zu bilden. Die relativen Fehler der einzelnen Messgrößen betragen
1% für die Spannung bzw. 2% für den Strom. Der relative Fehler des Quotienten beträgt
daher 2.2% und wir erhalten R = (120 ± 3) Ω.
§ 1752 Potenzgesetz: Für den Zusammenhang u = x n erhalten wir als relative Fehler
σ u
|u| = |n| σ x
|x| . (12.30)
§ 1753 Die Höhe eines Turmes wird bestimmt aus der Zeit, in der ein Stein von der Turmspitze
bis zum Boden fällt. Die Zeit wird bestimmt zu t = 2.5 ± 0.1 s, d.h. der relative Fehler
beträgt 4%. Die Turmhöhe ergibt sich zu s = 1 2 gt2 = (30 ± 2.5) m, da sich der relative Fehler
gemäß (12.30) auf 8% verdoppelt hat.
12.4.6 Ausgleichsrechnung: Lineare Regression
§ 1754 Wir haben einen Satz von N Messwerten y 1 , ..., y N für die Variablen x 1 , ..., x N bestimmt
und suchen eine Funktion y = f(x), die den Zusammenhang zwischen den beiden
Sätzen von Daten möglichst gut beschreiben soll.
§ 1755 Im Idealfall wäre y i = f(x i ). Abweichungen entstehen dadurch, dass (a) der funktionale
Zusammenhang zwischen x und y nicht immer genau bekannt ist 2 und (b) die Werte
von y i (und ebenso x i ) mit einem Fehler behaftet sind.
§ 1756 Ohne Berücksichtigung der Fehler in den x i und y i suchen wir eine Funktion, für die
die Abweichung zwischen den beobachteten y i und den f(x i ) minimal wird. Dazu minimieren
wir die mittlere quadratische Abweichung
N∑
χ 2 = (y i − f i ) 2 !
= Minimum . (12.31)
i=1
Die Methode wird als Least Square Fit oder Methode der kleinsten Quadrate bezeichnet. Das
Verfahren ist nur dann sinnvoll, wenn die Zahl der Daten deutlich größer ist als die Zahl der
Parameter in der anzupassenden Funktion.
§ 1757 Häufigste Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate ist die lineare Regression,
d.h. die Anpassung eines linearen Fits bzw. die Bestimmung der Parameter a und b der
Ausgleichsgeraden
f(x) = ax + b . (12.32)
Mit (12.31) ist dann gefordert
χ 2 =
N∑
(y i − ax i − b) 2 !
= 0 ,
i=1
d.h. wir müssen ein Minimum in der Funktion χ(a, b) suchen:
∂χ 2
∂a
= −2 ∑ i
(y i − ax i − b)x i
!
= 0 und
2 Wenn wir hinreichend komplizierte Funktionen zulassen, können wir y i = f(x i ) immer exakt erfüllen.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode