Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

4.2. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN EINER VARIABLEN 125
Differenz, bei der der Abstand der beiden Argumente gegen Null geht. Für die unabhängige
Variable entspricht dies
dx = lim
∆x→0 (x 2 − x 1 ) ,
für die Funktionswerte
dy = df(x) = lim
∆x→0 [f(x + ∆x) − f(x)] = f ′ (x) dx .
Definition 41 Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für ∆x
gegen Null:
f ′ (x) = df(x)
dx
= lim ∆f(x)
∆x→0 ∆(x) = lim f(x + ∆x) − f(x)
.
∆x→0 ∆x
§ 489 Der Wortlaut der Definition unterscheidet sich nicht von dem, was wir bereits anschaulich
kennen gelernt und in § 484 angewandt haben, lediglich die Schreibweise der Ableitung
mit Hilfe des Quotienten der beiden Differentiale ist neu.
§ 490 Anschaulich gibt der Differentialquotient die Steigung des Funktionsgraphen in jedem
Punkt wieder. Zwei Beispiele sind durch die roten Tangenten an den Funktionsgraphen
in Abb. 4.1 gegeben. Den Übergang von der Sekante zur Tangente kann man sich veranschaulichen,
in dem man die Sekantensteigung für sukzessiv kleiner werdende Differenzen ∆x
betrachtet: dann rückt die Sekante immer näher an den Funktionsgraphen heran und geht
schließlich in die Tangente über.
Differenzierbarkeit
§ 491 Gemäß Def. 41 setzt das Differenzieren einer Funktion die Existenz eines Grenzwerts
voraus. Betrachten wir nochmals die Funktion in Abb. 3.4. Ursprünglich sollte uns das Beispiel
nur zeigen, dass eine Funktion einen Grenzwert haben kann ohne an der Stelle selbst
definiert zu sein. In diesem Fall sind die Grenzwerte bei Annäherung an die Stelle x = 2 von
links und rechts verschieden, d.h. links- und rechtsseitiger Grenzwert nehmen verschiedene
Werte an. Aus der Abbildung wird deutlich, dass auch die Ableitungen bzw. Differenzenquotienten
verschieden sind, je nach dem, ob man sich dieser Stelle von links oder rechts
annähert. Entsprechend den links- und rechtsseitigen Grenzwerten lassen sich auch linksund
rechtsseitige Ableitungen definieren:
f ′ +(x) =
f(x + ∆x) − f(x)
lim
∆x→0 + ∆x
und f −(x) ′ f(x − ∆x) − f(x)
= lim
.
∆x→0 − ∆x
Eine Funktion ist in einem gegebenen Punkt x 0 nur dann differenzierbar, wenn rechts- und
linksseitige Ableitung identisch sind: f ′ +(x 0 ) = f ′ −(x 0 ). Die Funktion in Abb. 3.4 ist in allen
in der Abbildung gezeigten Punkten differenzierbar außer bei x = 2. Differenzierbarkeit einer
Funktion kann daher als globale Aussage getroffen werden (in allen Punkten des Definitionsbereichs
müssen links- und rechtsseitige Ableitungen existieren und identisch sein) oder auf
ein Intervall bezogen werden:
Definition 42 Eine Funktion f(x) heißt differenzierbar in [a, b], wenn für jedes x ∈ (a, b)
rechts- und linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten existieren und identisch sind.
§ 492 Für viele konventionelle Funktionen wie f(x) = sin(x) oder f(x) = x n ist dies sicherlich
der Fall. Wie sieht es dagegen mit der Funktion
{ x falls x ≥ 0
f(x) =
(4.1)
0 sonst
aus, vgl. Abb. 4.3? Die Funktion ist für alle x definiert, also auch für den Knick bei x =
0. Sie ist stetig, da in jedem Punkt der rechts- und der linksseitige Grenzwert existieren,
identisch sind und dem Funktionswert entsprechen. Dies gilt auch in x = 0 mit f(0) = 0.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007