Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

66 KAPITEL 2. FOLGEN UND REIHEN
Abbildung 2.8: Reihenentwicklung
des Sinus: die
oberen Teilbilder geben die
exakten Werte (schwarz)
und die Reihenentwicklungen
bis zum ersten (rot),
zweiten (grün), dritten
(blau) bzw. vierten (cyan)
Glied. In der unteren Reihe
sind die relativen Abweichungen
vom exakten Wert
gegeben
Für kleine x werden die Terme x n /n! schnell sehr klein und die Reihe liefert bereits nach wenigen
Gliedern eine gute Näherung. Bei der Herleitung der Euler Formel (6.8) in Abschn. 6.3.1
werden wir diese und die beiden folgenden Reihenentwicklungen benötigen. Für x = 1 ergibt
sich aus der Reihentwicklung der Exponentialfunktion die Euler Zahl e, siehe auch § 233.
Trigonometrische Funktionen
§ 267 Durch Ableiten der Funktion f(x) = sin x (mit x im Bogenmaß) ergeben sich die
Koeffizienten der MacLaurin Reihe für den Sinus zu
f(x) = sin x ⇒ f(0) = 0
f ′ (x) = cos x ⇒ f ′ (0) = 1
f ′′ (x) = − sin x ⇒ f ′′ (0) = 0 .
Damit ergibt sich als Reihenentwicklung des Sinus
sin x = x − x3
3! + x5
5! − x7
+ .... . (2.9)
7!
Diese Reihe zeigt, warum man den Sinus für kleine Winkel durch den Winkel ersetzen kann:
bei kleinem Winkel ist bereits das zweite Glied der Reihe verschwindend klein.
§ 268 Abbildung 2.8 illustriert dieses Statement auch quantitativ. In der oberen Reihe sind
jeweils der Sinus und die Entwicklungen für maximal vier Glieder gezeigt, in der unteren
Reihe die relativen Abweichungen (Entwicklung-Exakt)/Exakt vom exakten Wert. Benötigt
man nur eine 10%-Annäherung, so ist dies selbst durch Abbruch nach dem ersten Glied der
Entwicklung noch bis zu einem Winkel von ca. 0.5 (entsprechend 30 ◦ ) gegeben. Bei einem
Winkel von 0.2 (entsprechend ca. 11.5 ◦ ) beträgt der Fehler bei Abbruch nach dem ersten Glied
der Entwicklung noch weniger als 1%. Für ein normales Fadenpendel ist diese Auslenkung
realistisch.Bricht man die Entwicklung erst nach dem zweiten Glied ab (grüne Kurve), so
erreicht sie den 10%-Fehler erst bei π/2 (entsprechend 90 ◦ ).
§ 269 Die Potenzreihenentwicklung des Kosinus ist ähnlich; als Reihe ergibt sich
cos x = 1 − x2
2! + x4
4! − x6
+ .... . (2.10)
6!
Diese Darstellungen der Winkelfunktionen sind konsistent: Ableiten der Reihenentwicklung
von sin x ergibt cos x und umgekehrt.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode