Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

522 ANHANG C. ERSTE HILFE
schleunigung durch die Gravitationskraft berücksichtigt, − 1 2 gt2 (minus, da nach unten
gerichtet), (b) die Startgeschwindigkeit, v 0 t (positiv, da nach oben geworfen wird)
und (c) den Startort s 0 :
s(t) = − 1 2 gt2 + vt + s 0 .
(C.3)
Die Funktion ist im rechten Teil von Abb. C.3 dargestellt.
Von dieser Funktion s(t) suchen wir ein Maximum, nämlich den höchsten Punkt der
Flugbahn, sowie eine Nullstelle, nämlich den Aufschlagpunkt mit s = 0. Also setzen
wir dieses s = 0 in (C.3) ein:
0 = − 1 2 gt2 + v 0 t + s 0 ⇒ t 2 − 2v 0
g t − 2s 0
g = 0
und lösen die sich so ergebende quadratische Gleichung nach t auf:
(
t 1,2 = − − 1 )
√ (
2v 0
± − 1 )
√
2
2v 0
+ 2s 0
2 g
2 g g = v (v0 ) 2
0
g ± + 2s 0
g g
bzw. nach Einsetzen der Zahlenwerte
t 1,2 =
oder ausgeführt
√ ( ) 2
10 m/s 10 m/s
10 m/s 2 ± 10 m/s 2 + 2 · 100 m
10 m/s 2 = 1 s ± √ 1 s 2 + 20 s 2 = (1 ± √ 21) s
t 1 = 5.58 s und t 2 = −3.58 s .
Warum zwei Zeiten? Formal, weil es sich um eine quadratische Gleichung handelt.
Physikalisch ist aber nur eine Zeit sinnvoll, die mit dem positiven Vorzeichen, also
t 1 . Das bedeutet, dass der Stein 5.58 s nach dem Abwurf den Boden erreicht. Häufig
wird argumentiert, dass die zweite Zeit physikalisch nicht sinnvoll ist, da sie negativ
ist und die Zeitrichtung nur positiv nach vorne geht. Wenn wir uns allerdings einmal
für einen Moment auf die negative Zeit einlassen und diese mit im Funktionsgraphen
berücksichtigen, so erhalten wir den gestrichelt gezeichneten Teil der Flugbahn in
Abb. C.3 und damit eine sinnvolle Interpretation dieses Wertes: wenn man den Stein
zur Zeit t 2 = −3.58 s mit einer geeigneten Geschwindigkeit v(t 2 ) am Boden abgeworfen
hätte, so wäre er zur Zeit t = 0 genau mit der Abwurfgeschwindigkeit am
Abwurfort angekommen. Seine Bahn wäre von da an nicht mehr von der zu unterscheiden,
die der vom Turm geworfene Stein nimmt.
Zur Bestimmung des Maximums s m = s(t m ) der Flugbahn leiten wir (C.3) einmal
nach t ab und erhalten die Geschwindigkeit
v(t) = −gt + v 0 .
Für ein Maximum muss die erste Ableitung verschwinden, d.h. wir fordern
0 ! = −gt m + v 0 .
Durch Auflösen nach t m erhalten wir die Zeit, zu der das Extremum erreicht wird:
t m = − v 0
g
=
10 m/s
10 m/s 2 = 1 s .
Um zu überprüfen, ob es sich hierbei wirklich um ein Maximum handelt, bilden wir
die zweite Ableitung, d.h. wir untersuchen die Veränderung der Geschwindigkeit bzw.
die Veränderung der Veränderung des Ortes, das ist die Beschleunigung:
a(t) = v ′ (t) = s ′′ (t) = −g = −10 m/s .
Da diese negativ ist, handelt es sich um ein Maximum. Einsetzen dieser Zeit in (C.3)
liefert für die maximale Flughöhe
s(t m ) = − 1 2 gt2 m + vt m + s 0 = − 1 2 · 10 m/s2 · (1 s) 2 + 10 m/s · 1 s + 50 m
= −5 m + 10 m + 50 m = 55 m .
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode