Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

1.6. MATHEMATISCHE ERGÄNZUNG 27
Der erste Ausdruck rechts enthält ein Kreuzprodukt aus Bahngeschwindigkeit ⃗v = d⃗ϱ/dt und
Impuls ⃗p = m⃗v: da beide Vektoren parallel sind, verschwindet das Kreuzprodukt. Im zweiten
Term steht die zeitliche Ableitung des Drehimpulses und damit gemäß zweitem Newton’schen
Axiom die Kraft, so dass wir erhalten
⃗D = d⃗ L
dt = ⃗ϱ × ⃗ F ,
entsprechend (1.14).
§ 133 Das Drehmoment ist über ein Kreuzprodukt definiert: außer den Beträgen von Kraft
und Abstand vom Drehpunkt geht die Richtung der Kraft mit ein. Nur die Kraftkomponente
senkrecht zum Abstand vom Drehpunkt zählt – ziehen an der Drehachse ist wenig effizient,
wie Sie mit jedem gängigen Türdrücker ausprobieren können. Und da das Lösen der Befestigungsmuttern
der Fahrradachse nur ein bestimmtes Drehmoment nicht aber eine vorgegebene
Kraft erfordert, kann ein Mangel an Kraft durch eine Vergrößerung des Abstands von der
Drehachse (längerer Hebel, d.h. größerer Schraubenschlüssel) kompensiert werden.
Bewegung einer Ladung im elektromagnetischen Feld
§ 134 Elektronen, die mit einer Geschwindigkeit ⃗v in ein Magnetfeld der Flussdichte B ⃗ eintreten,
werden durch die Lorentz-Kraft F ⃗ L = −e(⃗v × B) ⃗ abgelenkt. Tritt das Elektron (Elementarladung
e = 1.6 · 10 −19 C) mit einer Geschwindigkeit ⃗v = (v x , v y , v z ) in ein homogenes
Magnetfeld B ⃗ = (0, 0, B), so wirkt die Lorentz-Kraft
⎛
⃗F L = −e ⎝ v ⎞ ⎛
x
v y
⎠ ×
v z
⎝ 0 0
B
⎞ ⎛
⎠ = ⎝ v yB
−v x B
0
⎞
⎠ .
Sie hat nur Komponenten senkrecht zum Magnetfeld, das Teilchen erfährt daher keine Beschleunigung
parallel zum Feld, d.h. v z = const. Die Komponenten senkrecht zum Feld bewirken
eine Beschleunigung senkrecht zur jeweiligen Geschwindigkeitskomponente. Die sich
ergebende Bahn ist eine Helix oder Schraubenlinie, vgl. Abb. 3.25, mit
⎛ ⎞
⎞
⃗r = ⎝ r ⎛
L cos(ωt)
r L sin(ωt) ⎠ und ⃗v = d⃗r
dt = ⎝ −r Lω sin(ωt)
⎠ .
v z t
r L ω cos(ωt)
v z
Darin ist r L = v ⊥ /ω der Larmorradius, v ⊥ = r L ω(− sin(ωt), cos(ωt)) die Geschwindigkeit
senkrecht zum Magnetfeld und ω = eB/m die Zyklotronfrequenz. Schießt man die Elektronen
parallel zum Magnetfeld ein (⃗v 0 = v z ⃗e z ), so verschwindet die Kraft, d.h. die Elektronen
bewegen sich so, als wäre das Feld nicht vorhanden.
Verständnisfrage 6 Im obigen Beispiel ist das Feld parallel zur z-Achse orientiert. Wie
sieht es bei einem allgemeinen homogenen Magnetfeld B = (B x , B y , B z ) aus? Wie ändert
sich die Teilchenbewegung und wie ihre Darstellung?
Querverbindung 1 Der Ausdruck für die Helixbahn ist aus der Bewegungsgleichung nicht
unbedingt einsichtig. Er ergibt sich als Lösung der Bewegungsleichung; wir werden in § 1026
darauf zurück kommen.
1.6 Mathematische Ergänzung
§ 135 Geometrische Probleme lassen sich häufig mit Hilfe einer Skizze lösen. Selbst Beweise
können auf diese Weise erfolgen. Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen
Dreieck die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypothenusenquadrat ist: a 2 +b 2 = c 2 .
Zum Beweis schreiben wir das Kathetenquadrat c 2 in ein größeres Quadrat ein mit der
Seitenlänge a + b, siehe Abb. 1.16. Die dreickigen Abschnitte sind jeweils das rechtwinklige
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007