Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

272 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Abbildung 7.18: Zur Geometrie
des über die Tischkante
gleitenden Seil
Für schwache Dämpfung (Schwingfall) ergibt sich
q(t) = e −γt (a sin(ωt) + b cos(ωt)) mit γ = R 2L und ω = √
1
LC − R2
4L 2 .
Zwischenrechnung 41 Lösen Sie die DGL noch einmal selbständig (und ohne Rückblättern)
und geben Sie die spezielle Lösung für die speziellen Anfangsbedingungen (welche wären
das?) sowie für allgemeine Anfangsbedingungen. Bestimmen Sie ferner die Lösungen für den
Kriechfall und den aperiodischen Grenzfall.
§ 1022 Für eine erzwungene Schwingung wird eine Wechselspannungsquelle als Antrieb in
den Wechselstromkreis eingefügt, siehe rechter Teil von Abb. 7.17. Mit einem Antrieb der
Form f a cos(Ωt) ergibt sich die inhomogene DGL für den Serienschwingkreis
¨q + R L ˙q + 1
LC q = f a cos(Ωt) oder ¨q + 2γ ˙q + ω 2 0q = f A e iΩt
mit den bereits bekannten Abkürzungen γ = R/2L und ω 2 0 = 1/(LC). Diese inhomogene
DGL hat die Lösungen
q(t) = e −γt (a cos(ω 0 t) + b sin(ω 0 t)) + A r cos(Ωt + ϕ) .
Für die Amplitude und den Phasenwinkel gelten entsprechend (7.20) und (7.21)
A r =
f
√ a
2γΩ
und ϕ = − arctan
(ω
2
0 − Ω 2 ) 2 + (2γΩ) 2 ω0 2 − ,
Ω2
jeweils mit γ und ω 0 wie oben eingeführt.
Zwischenrechnung 42 Lösen Sie die DGL noch einmal selbständig (und ohne Rückblättern)
und geben Sie die spezielle Lösung für die speziellen Anfangsbedingungen (welche wären das?)
sowie für allgemeine Anfangsbedingungen.
Nicht jeder DGL 2ter Ordnung beschreibt eine Schwingung
§ 1023 Die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung wird in der Physik meistens im
Zusammenhang mit der einer Schwingung, sei sie nun mechanisch oder elektrisch, eingeführt.
Daher nehmen Schwingungsgleichungen einen breiten Raum in diesem Skript ein. Der harmonische
Oszillator ist jedoch nur ein Beispiel für eine DGL zweiter Ordnung; ein ebenfalls
populäres, nicht auf eine Schwingung führendes Beispiel für eine DGL zweiter Ordnung ist
das über eine Tischkante gleitende Seil.
§ 1024 Ein biegsames Seil der Länge l = 1 m und der Masse m = 1 kg gleitet reibungslos
über die Kante eines Tisches. Gesucht ist der Ort und die Geschwindigkeit eines Punktes
auf dem Seil als Funktion der Zeit. Wichtig ist die Wahl eines geeigneten Koordinatensystems:
da sich das Seil bewegen soll ohne einen Anfangsimpuls zu haben, muss eine Kraft auf
das Seil wirken. Diese ist gegeben durch die Gewichtskraft des bereits über die Tischkante
hängenden Seilstückchens, siehe Abb. 7.18. Daher ist es sinnvoll, die Koordinate x so zu
wählen, dass sie von der Tischkante zum herüber hängenden Ende zählt. Die Gewichtskraft
F g (t) in Abhängigkeit von der Zeit ist
F g (t) = mg x(t)
l
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode