Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

144 KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG
Abbildung 4.11: Feld A = ⃗a · ⃗r zusammen
mit dem Gradienten (links)
und Gradient des Feldes zusammen
mit Isolinien (rechts)
Abbildung 4.12: Feld A = x 2 + y 2 zusammen
mit dem Gradienten (links)
und Gradient des Feldes zusammen
mit Isolinien (rechts)
Zusammen fügen dieser Ableitungen liefert
q
⃗E = −∇U = √ (x⃗e
4πε 0 x2 + y 2 + z 23 x + y⃗e y + z⃗e z )
q
q
= √ ⃗r =
4πε 0 x2 + y 2 + z23 4πε 0 r 2 ⃗e r .
In kartesischen Koordinaten erhalten wir zwar das gleiche Ergebnis, das Verfahren ist allerdings
aufwendiger und damit auch anfälliger für Fehler.
§ 572 WARNUNG: für welches Koordinatensystem Sie sich bei der Behandlung eines Problems
entscheiden, ist nur eine Frage des Rechenaufwands. Sie dürfen allerdings Koordinaten
nicht mischen. Einerseits ist r = r(x, y, z), so dass ein möglicherweise bei der Mischung
auftretender Ausdruck ∂r/∂x eben nicht verschwindet sondern gemäß Kettenregel abgeleitet
werden müsste. Umgekehrt ist jedoch auf x = x(r, ϑ, ϕ), so dass der möglicherweise bei
der Mischung auftretende Ausdruck ∂x/∂ϕ ebenfalls nicht verschwindet sondern nach Kettenregel
abgeleitet werden müsste. Also als Verfahrensregel: entscheiden Sie sich als erstes
für das gewünschte Koordinatensystem. Dann transformieren Sie alle Ausdrücke (Feld und
Nabla-Operator) in dieses System und erst dann fangen Sie an zu rechnen.
Spezielle Felder
§ 573 In einem homogenen Feld A(⃗r) = const verschwindet der Gradient: da das Feld überall
den gleichen Wert annimmt, gibt es keine Feldänderung entlang irgendeiner Richtung und
damit auch keinen Gradienten.
§ 574 In einem Feld der Form A(⃗r) = ⃗a · ⃗r mit ⃗a = const ist der Gradient ∇A = ∇(a x x +
a y y + a z z) = (a x , a y , a z ) = ⃗a. Die Äquipotentialflächen sind Ebenen senkrecht zu ⃗a, daher
muss der Gradient in Richtung ⃗a liegen, vgl. Abb. 4.11.
§ 575 In einem konzentrischen ebenen Feld oder einem von z unabhängigen axialsymmetrischen
Feld A = x 2 + y 2 sind die Äquipotentiallinien konzentrische Kreise bzw. Zylinder. Der
Gradient ∇A = 2x⃗e x + 2y⃗e y = 2⃗r ist radial nach außen gerichtet, steht senkrecht auf den
Äquipotentiallinien und nicmmt nach außen zu, vgl. Abb. 4.12.
§ 576 In einem radialsymmetrischen Feld sind die Äquipotentialflächen konzentrische Kugelschalen,
wir erwarten also, dass der Gradient radial nach innen bzw. außen weist. Für ein
allgemeines Feld ∼ r n gilt wegen (4.7)
∇r n = ∂rn
∂r ⃗e r = nr n−1 ⃗e r .
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode