Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

4.5. DIFFERENTIATION VEKTORWERTIGER FUNKTIONEN 149
§ 593 Nicht ganz so offensichtlich ist der Zusammenhang zwischen den einzelnen Komponenten
bei der ebenen Kreisbewegung. Der Ort lässt sich darstellen als
( )
r cos(ωt)
⃗r =
= r ⃗e
r sin(ωt) r .
Die Ableitung dieser Funktion liefert für die Geschwindigkeit
( ) ( )
⃗v = ˙⃗r −rω sin(ωt) − sin(ωt)
=
= rω
= rω ⃗e
rω cos(ωt)
cos(ωt)
ϕ , also ⃗v ⊥ ⃗r ,
und für die Beschleunigung
( )
⃗a = ˙⃗v −rω
=
cos(ωt)
−rω 2 = −ω 2 ⃗r = −ω 2 r ⃗e
sin(ωt)
r , also ⃗a ‖ − ⃗r .
Die Geschwindigkeit ist, wie für eine Zentralkraft als Ursache der Bewegung zu erwarten,
tangential zur Bewegung in Richtung von ⃗e ϕ ; die Beschleunigung ist, ebenfalls wie für eine
Zentralkraft zu erwarten, dem Ortsvektor entgegen gesetzt.
4.5.4 Koordinatensysteme: Transformation der Basisvektoren
§ 594 Ein Vergleich der beiden Beispiele weist auf ein inkonsistentes Verhalten der Einheitsvektoren
(oder formaler der Basen) des zu Grunde liegenden Koordinantensystems hin. Beim
in kartesischen Koordinaten dargestellten Wurf wird komponentenweise differenziert derart,
dass der Einheitsvektor erhalten bleibt. Unter Berücksichtigung der Kettenregel gilt für die
Differentiation eines Vektors allgemein
d⃗r
dt = d dt (r x⃗e x + r y ⃗e y + r z ⃗e z ) = dr x
dt ⃗e x + r x
d⃗e x
dt + dr y
dt ⃗e y + r y
d⃗e y
dt + dr z
dt ⃗e z + r z
d⃗e z
dt .
Da die Einheitsvektoren in einem kartesischen Koordinatensystem konstant sind, verschwinden
die Ausdrücke d⃗e i /dt und es ergibt sich
d⃗r
dt = ṙ x⃗e x + ṙ y ⃗e y + ṙ z ⃗e z .
§ 595 Bei der Kreisbewegung dagegen werden die Einheitsvektoren offensichtlich nicht erhalten,
da die zeitliche Ableitung der zu ⃗e r proportionalen Größe ⃗r auf die zu ⃗e ϕ proportionale
Größe ⃗v führt und deren Ableitung auf eine Größe ⃗a, die wiederum zu ⃗e r proportional ist.
Oder formal
˙⃗e r ∼ ⃗e ϕ und ˙⃗eϕ ∼ ⃗e r .
Rein formal können wir für die Ableitung von ⃗r anstelle der oben verwendeten kartesischen
Komponenten r cos(ωt) und r sin(ωt) unter Verwendung der Produktregel auch schreiben:
˙⃗r(t) = d dt ⃗r(t) = d dt (r⃗e r) = ⃗e r
dr
dt + r d⃗e r
dt = ṙ⃗e r + r˙⃗e r .
Dabei beschreibt die erste Komponente die Änderung des Ortes in radialer Richtung (entfällt
bei einer Kreisbewegung wegen r = const), die zweite Komponente gibt die Änderung des
Ortes senkrecht zur Radialen, also in Richtung ˙⃗e r .
Allgemeine Koordinatentransformation
§ 596 Nicht nur in den bei der Kreisbewegung verwendeten Polarkoordinaten sondern auch
in den anderen in Abschn. 1.3 vorgestellten Koordinatensystemen verändern sich die Einheitsvektoren
mit der Bewegung des Körpers. Das ist am einfachsten daran zu erkennen,
dass immer einer der Einheitsvektoren ⃗e r ist, also die Verlängerung des Ortsvektors.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007