Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

Kapitel 5
Integration
Discovery consists of seeing what everybody has seen and
thinking what nobody has thought.
A. v. Szent-Györgyi
§ 637 Integration ist der Umkehrprozess der Differentiation: die Ableitung f ′ (x) einer Funktion
f(x) beschreibt die Veränderung von f(x). Oder anschaulich: die Ableitung f ′ (x) einer
Funktion f(x) ist eine Funktion, die die lokale Steigung von f(x) gibt. Integration beschreibt
die Umkehrung dieses Vorgangs: zur bekannten Änderung f(x) einer Funktion F (x) wird
eben diese Funktion, die Stammfunktion, gesucht: dF (x)/dx = f(x) oder F (x) = ∫ f(x) dx.
Anschaulich gibt das bestimmte Integral die Fläche unter dem Funktionsgraphen zwischen
den Integrationsgrenzen.
§ 638 In diesem Kapitel werden die grundlegenden Begriffe und Verfahren zur Integration
von Funktionen einer Variablen wiederholt. Anschließend werden diese Konzepte auf Mehrfachintegrale
und die Integration vektorwertiger Funktionen erweitert. Die mathematischen
Ergänzungen sind wie bei der Differentiation rudimentär und fließen in den Haupttext ein.
§ 639 Qualifikationsziele: nach Durcharbeiten dieses Kapitels sollen Sie in der Lage sein
• die grundlegenden Integrationsverfahren inkl. Substitutionsmethode und partielle Integration
duchzuführen,
• Mehrfachintegrale in kartesischen und krummlinigen Koordinaten auszuführen,
• einfache Verfahren der numerischen Integration in MatLab durchzuführen,
• das Riemann-Integral verktorwertiger Funktionen zu bestimmen,
5.1 Motivation
§ 640 Eine Anwendung der Integration einer Funktion ist Ihnen bereits aus der Schule bekannt:
die Bestimmung der Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der Abszisse.
Historisch ist die Entwicklung von Verfahren zur Ermittlung dieses bestimmten Integrals die
Triebfeder in der Entwicklung der mathematischen Konzepte der Integration.
§ 641 Das bestimmte Integral liefert als Ergebnis eine Zahl; eben diese Fläche. Daher ist
den frühen, mit der Integration befassten Matematikern der Zusammenhang mit der Differentiation
nicht aufgefallen. Letztere befasst sich mit Funktionen; insbesondere ist auch die
Ableitung einer Funktion wieder eine Funktion. Erst Newton und Leibniz entdeckten den
Zusammenhang zwischen Integration und Differentiation.
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