Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

84 KAPITEL 3. FUNKTIONEN
Abbildung 3.3: Wurfparabel
in Parameterdarstellung
x(t) (links) und y(t)
(Mitte) sowie in expliziter
Form y(x) (rechts)
gegeben. Diese Form ist die gebräuchlichste; sie ist insbesondere bei der Erstellung einer
Wertetabelle und eines Funktionsgraphen hilfreich – auch bei der Verwendung von MatLab
zum Plotten ist die explizite Darstellung am einfachsten zu verwenden, vgl. Abschn. 3.5.
§ 331 Die implizite Darstellung einer Funktion ist nicht nach einer der Variablen aufgelöst:
F (x, y) = 0. Ein Beispiel ist die Darstellung eines Kreises in der Form
x 2 + y 2 = r 2 .
Auf diese Weise lässt sich ein Vollkreis darstellen, in der expliziten Darstellung y = √ r 2 − x 2
dagegen wird auf Grund der geforderten Eindeutigkeit nur die positive Wurzel berücksichtigt,
d.h. der Kreis ist auf einen Halbkreis im 1. und 2. Quadranten reduziert.
§ 332 In der Physik nicht unüblich ist die Darstellung einer Funktion in Parameterdarstellung.
Sie messen den Strom durch einen Widerstand in Abhängigkeit von der angelegten
Spannung. In der manuellen Version stellen Sie eine Spannung ein und messen dann den
Strom. Das wird langweilig, wenn auf diese Weise einige Tausend Widerstände durchgemessen
werden sollen. Dann ist es einfacher, die Spannung u automatisch zu verändern und
parallel den Strom i zu messen. Auf diese Weise ergeben sich zwei Messreihen u(t) und i(t)
der zu betrachteten Größen in Abhängigkeit von einem Hilfsparameter, der Zeit t:
t [s] u(t)[V ] i(t) [mA]
1 2 1
2 4 2
3 6 3
4 7 3.5
.
.
.
.
.
.
Um die gesuchte Funktion i(u) graphisch darzustellen, ignorieren wir den Hilfsparameter t
einfach und plotten die dritte gegen die zweite Spalte.
§ 333 Bewegungen werden ebenfalls häufig in Parameterdarstellung angegeben. Ein einfaches
Beispiel ist die Wurfparabel; die Archimedische Spirale wird als weiteres Beispiel in § 430
beschrieben. Analytisch beschreiben wir die Wurfbewegung durch zwei getrennte Gleichungen
für die horizontale und die vertikale Bewegung:
x(t) = v x,0 t + x 0 und y(t) = 1 2 gt2 + v y,0 t + y 0
mit x 0 und y 0 als dem Ort zu Beginn der Bewegung und v x,0 und v y,0 als den dazu gehörigen
Geschwindigkeitskomponenten. Beide Komponenten x und y der Bewegung sind in Abhängigkeit
von einem Parameter, der Zeit t, gegeben. Auflösen der ersten Gleichung nach t und
Einsetzen in die zweite liefert die explizite Form der Wurfparabel
y(x) = − 1 2 g ( x − x0
v x,0
) 2 ( ) x − x0
+ v y,0 + y 0 .
v x,0
Abbildung 3.3 zeigt die Parameterdarstellung x(t) und y(t) sowie die explizite Form y(x).
Zwischenrechnung 11 Warum sehen mittleres und rechtes Teilbild in Abb. 3.3 so ähnlich
aus, wenn doch in einem die y-Koordinate gegen die Zeit, im anderen dagegen gegen die
x-Koordinate aufgetragen sind?
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode