Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

124 KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG
Abbildung 4.2: Das Weg–Zeit-
Diagramm beschreibt die Änderung
des Ortes mit der Zeit. Die
Sekantensteigung gibt die mittlere
Geschwindigkeit in einem Zeitintervall,
die Tangentensteigung
die Momentangeschwindigkeit
Im Grenzübergang ∆x → 0 verschwinden die Terme mit ∆x und aus dem Differenzquotient
wird, unserer Erwartung entsprechend, der Differentialquotient 6x 2 + 8x.
§ 485 Während der Differenzenquotient mathematisch gesehen eine Vorüberlegung zum Differentialquotienten
darstellt, ist er zumindest in der experimentellen Physik eine Standardgröße.
Funktionen werden verwendet, um den Zusammenhang zwischen verschiedenen, im
Experiment bestimmten physikalischen Größen zu beschreiben. Allerdings kann eine Messung
niemals eine Funktion in R liefern, da die Messwerte stets diskret sind. Daher können
nie zwei Messwerte unendlich dicht zusammen rücken, so dass sich aus einer Messung nie
eine Veränderung von Funktionswerten im Sinne eines Differentialquotienten sondern stets
nur im Sinne eines Differenzenquotienten ergeben kann.
§ 486 Auch für numerische Verfahren (z.B. die numerische Integration in Abschn. 5.5 oder
die numerische Lösung von Differentialgleichungen in Abschn. 7.9) ist der Differenzenquotient
von Bedeutung: ein numerisches Verfahren kann ebenfalls nicht mit unendlich kleinen
Differentialen arbeiten sondern nur mit endlichen Differenzen. Daher wird der Differentialquotient
in einer Differentialgleichung in einen Differenzenquotienten überführt. Ebenso wird
bei der numerischen Integration nicht mit dem Differential gearbeitet sondern mit einer endlichen
Differenz. In beiden Fällen ist die Güte der numerischen Verfahren durch die Größe
der Differenzen bestimmt: je kleiner diese sind, um so näher kommt die numerische Lösung
der analytischen.
§ 487 Manchmal ist dieser Differenzenquotient sogar die interessantere Größe als der Differentialquotient.
Der morgendliche Weg zur Uni als eine Änderung des Ortes mit der Zeit
besteht aus verschiedenen Phasen, z.B. den Beschleunigungsphasen beim Anfahren und Abbremsen,
Wartepausen an einer Ampel, gleichförmigen mittleren Geschwindigkeiten auf ebener
Strecke, langsamerem Fahren an einer Steigung und dem schnellen Abrollen auf einer
Gefällestrecke. Das zugehörige Weg–Zeit-Diagramm weist daher sehr unterschiedliche
Steigungen auf, vgl. Abb. 4.2. Diese Steigungen werden auch auf Ihrem Fahrrad-Tacho
als Momentangeschwindigkeit angezeigt. 2 In der Praxis verwenden Sie meist jedoch nicht
v(t) um ihre Geschwindigkeit zu beschreiben sondern geben eine mittlere Geschwindigkeit
v = ∫ v(t) dt/ ∫ dt an: diese bestimmen Sie nicht durch Integration über die Momentangeschwindigkeiten
sondern einfach in dem Sie die Gesamtstrecke s = ∫ v dt durch die zum
Zurücklegen dieser Strecke benötigte Zeit t = ∫ dt dividieren.
4.2.2 Differential und Differentialquotient
Differentialquotient
§ 488 Um mathematisch vom Differenzen- zum Differentialquotienten zu gelangen, müssen
wir den Übergang von der Differenz zum Differential vornehmen. Ein Differential ist eine
2 Das ist nicht ganz korrekt: das Messprinzip eines Tachos basiert darauf, die in einem festgelegten endlichen
Zeitintervall zurück gelegte Strecke zu registrieren und dann in eine Geschwindigkeit umzurechnen. Da es
sich um ein endliches Zeitintervall handelt, wird genau genommen keine Momentangeschwindigkeit angezeigt
sondern eine mittlere Geschwindigkeit in diesem Zeitintervall.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode