Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

3.2. GRUNDLAGEN 83
Abbildung 3.2: Skizzen von Funktionen
mit unterschiedlichen Eigenschaften
3.2.2 Darstellung von Funktionen
§ 326 Zur Darstellung einer Funktion gibt es verschiedene Möglichkeiten, die alle ihre Vorund
Nachteile haben. Daher sollten Sie mehrere Möglichkeiten beherrschen, um sich die für
das gegebene Problem beste Darstellungsform heraus suchen zu können.
§ 327 Eine Funktion ist gemäß der obigen Definition eine Zuordnung von Elementen des
Wertebereichs zu denen des Definitionsbereichs. Die einfachste Darstellungsform bedient sich
einer Tabelle, in der explizit die Elemente der beiden Bereiche angegeben sind. Eine derartige
Wertetabelle erzeugen Sie u.U. beim Versuch, eine Funktion graphisch darzustellen.
Sehr umfangreiche Wertetabellen bildeten früher unter dem Namen Logarithmentafel oder
Funktionentafel die Grundlagen für umfangreichere Rechnungen. Funktionswerte an anderen
als den in der Tafel gegebenen Werten der unabhängigen Variablen werden durch Interpolation
bestimmt. Auch ein einfacher Rechner greift auf tabellierte Funktionen zurück. In
modernen Rechnern werden Funktionen wie Sinus und Kosinus nicht aus tabellierten Werten
bestimmt, da für die heute gewünschten Genauigkeiten zu umfangreiche Tabellen benötigt
würden. Stattdessen werden diese Funktionen durch eine Potenzreihenentwicklung (siehe Abschn.
2.4) dargestellt.
§ 328 Eine anschauliche Darstellung einer Funktion wird durch den Funktionsgraphen gegeben,
ein Beispiel ist im rechten Teil von Abb. 3.1 skizziert. Dabei wird häufig ein kartesisches
Koordinatensystem verwendet, bei dem die unabhängige Variable auf der Abszisse, die zugehörige
abhängige auf der Ordinate abgetragen wird. Funktionsgraphen haben den Nachteil,
dass sich der Funktionswert zu einer vorgegebenen unabhängigen Variablen nur recht grob
bestimmen lässt. Ihr Vorteil besteht darin, dass der Funktionsverlauf insgesamt überblickt
werden kann. Insbesondere lässt sich häufig an Hand eines geschickt erstellten Funktionsgraphen
abschätzen, ob die Funktion periodisch ist, ob sie monoton oder beschränkt ist, oder
ob sie möglicherweise konvergieren könnte. Einige Skizzen zur Illustration dieser bereits von
den Folgen bekannten Begriffe finden sich in Abb. 3.2.
§ 329 Die häufigste und allgemeinste Darstellung einer Funktion ist die analytische, d.h.
die Funktion wird in Form einer Zuordnungsvorschrift oder Funktionsgleichung gegeben.
Dabei gibt es drei Möglichkeiten: die explizite Darstellung, die implizite Darstellung und die
Darstellung einer Funktion in Parameterform.
§ 330 Bei der expliziten Darstellung wird die Funktionsgleichung y = f(x) z.B. in der Form
f(x) = x 2 + 3x 3 + 5x 9
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007