Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.9. NUMERISCHE VERFAHREN 277
Abbildung 7.19: Numerische Lösung
aus Tabelle 7.1 für verschiedene
Schrittweiten ∆t. Alle Zeiten sind
in Vielfachen der charakteristischen
Zeit τ des Systems gegeben; die fett
ausgezogene Kurve gibt zum Vergleich
die analytische Lösung
aus gleichem Grund einen Fehler und startet zusätzlich nicht vom exakten Funktionswert
sondern bereits von einem fehlerhaften.
§ 1042 Das hier verwendete Lösungsverfahren liefert unabhängig von der Schrittweite für
die DGL des radioaktiven Zerfalls stets zu kleine Werte für N(t). Die exakte Lösung N(t)
ist monoton fallend. Das numerische Verfahren betrachtet jedoch N(t) als während des ganzen
Zeitschritts konstant. Damit ist ∆N für jedes Unterintervall eines Zeitschritts konstant
und insbesondere zum Ende des Zeitintervalls zu groß gegenüber dem analytischen Wert:
das Verfahren zieht am Ende des Zeitschritts systematisch eine zu große Zahl ∆N ab und
unterschätzt damit die Zahl N der verbliebenen Atome. Das wird insbesondere bei ∆t = τ
deutlich. Hätten wir eine monoton steigende Funktion, z.B. exponentielles Wachstum, so
würde das Verfahren die Änderung ∆N unterschätzen; auch in diesem Fall ist das numerisch
bestimmte N(t) kleiner als das der analytischen Lösung.
Differentialgleichung 2. Ordnung: harmonischer Oszillator
§ 1043 Die Gleichung für den harmonischen Oszillator
ẍ + ω 2 0x = 0
mit den Anfangsbedingungen x(0) = x 0 und v(0) = v 0 soll numerisch gelöst werden. Dazu
können wir mathematisch formal durch Taylor Entwicklung eine Diskretisierung der zweiten
Ableitung bestimmen (vgl. Abschn. 7.9.7) oder die DGL 2. Ordnung auf zwei gekoppelte
DGLs 1. Ordnung zurück führen. Für letzteres Verfahren führen wir eine Hilfsvariable v
ein mit v = ẋ und erhalten mit dieser Definitionsgleichung und der Ausgangsgleichung ein
System von zwei gekoppelten Differentialgleichungen
ẋ = v und ˙v = −ω 2 0x .
Diskretisierung liefert
∆x
∆t
= v und (7.42)
∆v
∆t = −ω2 0x . (7.43)
Dann ist ein ∆t zu wählen, das klein ist gegen die charakteristische Zeit des Systems (Schwingungsdauer),
und das folgende Schema zu durchlaufen:
1. Bestimme aus (7.43) die Beschleunigung ˙v aus der Auslenkung x (beim ersten Schritt
der Anfangswert x 0 , danach jeweils das x aus dem vorangegangenen Schritt).
2. Bestimme aus der Beschleunigung die Geschwindigkeitsänderung im Zeitintervall ∆t zu
∆v = a∆t mit a = −ω 2 0x aus Schritt (1).
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007